《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

某学校致力于劳动教育的探索与实践,在校内设立了“田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所,它们的相似比是$1:2$. 若两个劳动场所种植相同品种的蔬菜,在每平方米所需农资成本(主要包括化肥、农药以及灌溉用水)不变的情况下,“田园风光”的农资成本为 200 元,则“耘梦园”的农资成本为(800元)
A. 800 元
B. 400 元
C. 100 元
D. 50 元

答案： A $ \because $ “田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所，它们的相似比是 $ 1:2 $，$ \therefore $ “田园风光”和“耘梦园”两个相似的矩形劳动场所的面积比为 $ 1:4 $，$ \because $ “田园风光”的农资成本为 200 元，$ \therefore $ “耘梦园”的农资成本为 $ 200 \times 4 = 800 $ (元)。

如图,在$7 × 7$的正方形网格中,$A$,$B$,$C$,$D$是网格线的交点,$AC与BD相交于点O$,则$\triangle ABO的周长与\triangle CDO$的周长的比为(1:2)
A.$1:2$
B.$\sqrt{2}:2$
C.$1:4$
D.$\sqrt{2}:4$

答案： A 设网格中小正方形的边长为 1，由题图可知 $ AB = \sqrt{2} $，$ CD = 2\sqrt{2} $，$ AB // CD $，$ \therefore \angle B = \angle D $，$ \angle A = \angle C $，$ \therefore \triangle ABO \backsim \triangle CDO $，$ \therefore \triangle ABO $ 的周长与 $ \triangle CDO $ 的周长的比为 $ AB:CD = \sqrt{2}:2\sqrt{2} = 1:2 $。

11 天星原创 如图,在$□ ABCD$中,点$E为CD$上一点,且$DE = \frac{1}{2}CE$,连接$BE$并延长,交$AD的延长线于点F$,连接$AE$,则$S_{\triangle FED}:S_{\triangle ABE} = $(1:6)
A.$1:6$
B.$2:5$
C.$1:3$
D.$3:7$

答案： A 设 $ S_{□ ABCD} = a $，则 $ S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2}a $，$ S_{\triangle ADE} + S_{\triangle BCE} = \frac{1}{2}a $，
$ \because DE = \frac{1}{2}CE $，$ \therefore S_{\triangle ADE}:S_{\triangle BCE} = 1:2 $，$ \therefore S_{\triangle BCE} = \frac{2}{3} × \frac{1}{2}a = \frac{1}{3}a $。
由 $ AD // BC $，易得 $ \triangle FED \backsim \triangle BEC $，$ \therefore \frac{S_{\triangle FED}}{S_{\triangle BEC}} = (\frac{DE}{CE})^{2} = \frac{1}{4} $，
$ \therefore S_{\triangle FED} = \frac{1}{4} × \frac{1}{3}a = \frac{1}{12}a $，$ \therefore S_{\triangle FED}:S_{\triangle ABE} = \frac{1}{12}a:\frac{1}{2}a = 1:6 $。(本题也可利用两个三角形底边的比为 $ DE:AB = 1:3 $，高的比为 $ 1:2 $ 进行求解)

12 [2025 上海浦东新区月考]如图,在梯形$ABCD$中,$AB // CD$,对角线$AC和BD相交于点E$,且$\frac{CD}{AB} = \frac{3}{2}$,下列等式成立的是(C)
A.$\frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABE}} = \frac{3}{2}$
B.$2S_{\triangle ADE} = 3S_{\triangle CDE}$
C.$S_{\triangle ADE} = S_{\triangle BCE}$
D.
$\frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle CDE}} = \frac{4}{9}$

答案： C $ \because AB // CD $，$ \therefore \angle EBA = \angle EDC $，$ \angle EAB = \angle ECD $，
$ \therefore \triangle ABE \backsim \triangle CDE $，$ \therefore \frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABE}} = (\frac{CD}{AB})^{2} $，$ \because \frac{CD}{AB} = \frac{3}{2} $，$ \therefore \frac{S_{\triangle CDE}}{S_{\triangle ABE}} = \frac{9}{4} $，故 A 项不成立；$ \because \frac{AB}{CD} = \frac{AE}{CE} = \frac{2}{3} $，$ \therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle CDE}} = \frac{2}{3} $，$ \therefore 3S_{\triangle ADE} = 2S_{\triangle CDE} $，故 B 项不成立；$ \because AB // CD $，$ \therefore S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} $，$ \therefore S_{\triangle ABD} - S_{\triangle ABE} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ABE} $，$ \therefore S_{\triangle ADE} = S_{\triangle BCE} $，故 C 项成立；$ \because \frac{BE}{DE} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{3} $，$ \therefore \frac{S_{\triangle BCE}}{S_{\triangle CDE}} = \frac{2}{3} $，故 D 项不成立。

13 如图,在$\triangle ABC$中,点$D$,$E分别是AB$,$BC$上的点,且$DE // AC$,$AE$,$CD相交于点F$,若$S_{\triangle BDE}:S_{\triangle DEC} = 1:3$,则$S_{\triangle DEF}:S_{\triangle AFC} = $______1:16.

答案： 1:16 $ \because S_{\triangle BDE}:S_{\triangle DEC} = 1:3 $，$ \therefore BE:CE = 1:3 $，$ \therefore BE:BC = 1:4 $。由 $ DE // AC $，易得 $ \triangle BDE \backsim \triangle BAC $，$ \therefore DE:AC = BE:BC = 1:4 $。由 $ DE // AC $，易得 $ \triangle DEF \backsim \triangle CAF $，$ \therefore \frac{S_{\triangle DEF}}{S_{\triangle AFC}} = (\frac{DE}{AC})^{2} = (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{16} $。

14 [2024 成都期末]如图,点$D$,$E$,$F分别在\triangle ABC$的三边上,且$DE // BC$,$EF // AB$,$BD = 3AD$,$BC = 8$.
(1) 求$CF$的长；6
(2) 若$\triangle ADE$的面积为 4,求四边形$BDEF$的面积.24

答案： 解：
(1) $ \because DE // BC $，$ \therefore \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{1}{3} $，$ \therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{1}{4} $。
$ \because EF // AB $，$ \therefore \frac{AE}{AC} = \frac{BF}{BC} = \frac{1}{4} $，
$ \because BC = 8 $，$ \therefore BF = \frac{1}{4}BC = 2 $，
$ \therefore CF = BC - BF = 6 $。
(2) $ \because DE // BC $，$ \therefore \angle AED = \angle C $，
$ \because EF // AB $，$ \therefore \angle A = \angle FEC $，$ \therefore \triangle ADE \backsim \triangle EFC $，
$ \therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle EFC}} = (\frac{AE}{EC})^{2} = \frac{1}{9} $，$ \therefore S_{\triangle EFC} = 9S_{\triangle ADE} = 9 \times 4 = 36 $。
$ \because DE // BC $，$ \therefore \angle ADE = \angle B $，
又 $ \because \angle A = \angle A $，$ \therefore \triangle ADE \backsim \triangle ABC $，
$ \therefore \frac{S_{\triangle ADE}}{S_{\triangle ABC}} = (\frac{AD}{AB})^{2} = \frac{1}{16} $，$ \therefore S_{\triangle ABC} = 16S_{\triangle ADE} = 64 $，
$ \therefore S_{\text{四边形}BDEF} = S_{\triangle ABC} - S_{\triangle ADE} - S_{\triangle EFC} = 24 $。

15 几何直观 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5$,$BC = 3$,$AC = 4$,动点$E$(与点$A$,$C$不重合)在$AC$边上,$EF // AB交BC于点F$.
(1) 当$\triangle ECF的面积与四边形EABF$的面积相等时,求$CE$的长.
(2) 在$AB上是否存在点P$,使得$\triangle EFP$为等腰直角三角形？若不存在,请简要说明理由；若存在,请直接写出$EF$的长.

答案：
解：
(1) $ \because \triangle ECF $ 的面积与四边形 $ EABF $ 的面积相等，
$ \therefore S_{\triangle ECF}:S_{\triangle ACB} = 1:2 $。
由 $ EF // AB $，易得 $ \triangle ECF \backsim \triangle ACB $，
$ \therefore \frac{S_{\triangle ECF}}{S_{\triangle ACB}} = (\frac{EC}{AC})^{2} = \frac{1}{2} $，$ \therefore \frac{EC}{AC} = \frac{\sqrt{2}}{2} $，
$ \therefore CE = \frac{\sqrt{2}}{2}AC = 2\sqrt{2} $。
(2) 存在。$ EF $ 的长为 $ \frac{60}{37} $ 或 $ \frac{120}{49} $。
分两种情况：
① 如图 1，当 $ \angle PEF = 90^{\circ} $ 时，$ EP = EF $。
过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $，由 $ AB = 5 $，$ BC = 3 $，$ AC = 4 $，得 $ \angle ACB = 90^{\circ} $，$ \therefore \text{Rt} \triangle ACB $ 的斜边 $ AB $ 上的高 $ CD = \frac{12}{5} $。
设 $ EP = EF = x $，
由 $ \triangle ECF \backsim \triangle ACB $，得 $ \frac{x}{5} = \frac{\frac{12}{5} - x}{\frac{12}{5}} $，
解得 $ x = \frac{60}{37} $，$ \therefore EF = \frac{60}{37} $。
同理，当 $ \angle EFP' = 90^{\circ} $ 时，$ EF = \frac{60}{37} $。

② 如图 2，当 $ \angle EPF = 90^{\circ} $ 时，$ PE = PF $，过点 $ P $ 作 $ PG \perp EF $ 于点 $ G $，则 $ PG = \frac{1}{2}EF $。
过点 $ C $ 作 $ CD \perp AB $ 于点 $ D $，由①知 $ CD = \frac{12}{5} $。
设 $ EF = y $，由 $ \triangle ECF \backsim \triangle ACB $，得 $ \frac{y}{5} = \frac{\frac{12}{5} - \frac{1}{2}y}{\frac{12}{5}} $，
解得 $ y = \frac{120}{49} $，$ \therefore EF = \frac{120}{49} $。
综上所述，在 $ AB $ 上存在点 $ P $，使 $ \triangle EFP $ 为等腰直角三角形，$ EF $ 的长为 $ \frac{60}{37} $ 或 $ \frac{120}{49} $。

【回顾与思考】
相似三角形有哪些性质？

答案： 【解析】：相似三角形具有以下性质：
1. 对应角相等：相似三角形的对应角大小是完全一样的。这是因为相似三角形的形状相同，只是大小可能不同，所以对应角的度数保持不变。例如，若$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，则$\angle A = \angle A'$，$\angle B = \angle B'$，$\angle C = \angle C'$。
2. 对应边成比例：相似三角形对应边的长度之比是一个定值，这个定值就是相似比。比如$\triangle ABC\sim\triangle A'B'C'$，相似比为$k$，那么$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$。
3. 周长比等于相似比：设$\triangle ABC$的周长为$C_1 = AB + BC+AC$，$\triangle A'B'C'$的周长为$C_2 = A'B'+B'C'+A'C'$，因为$\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k$，所以$\frac{C_1}{C_2}=\frac{AB + BC + AC}{A'B'+B'C'+A'C'}=k$。
4. 面积比等于相似比的平方：设$\triangle ABC$的面积为$S_1$，$\triangle A'B'C'$的面积为$S_2$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），由于对应边成比例，对应高也成比例且比例都为相似比$k$，所以$\frac{S_1}{S_2}=k^{2}$。
【答案】：1. 对应角相等；2. 对应边成比例；3. 周长比等于相似比；4. 面积比等于相似比的平方。