《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024仙桃一中月考]在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动.
(1)如图1,当点E自D向C、点F自C向B移动时,连接AE和DF,AE,DF交于点P,请写出AE与DF的关系,并说明理由.
(2)如图2,当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?(请直接回答“成立”或“不成立”,无需证明)
(3)如图3,当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时,连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

答案：
解:
(1) $ AE = DF $，$ AE \perp DF $。理由如下:
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，
∴ $ AD = DC $，$ \angle ADC = \angle C = 90^{\circ} $，
又
∵ $ DE = CF $，
∴ $ \triangle ADE \cong \triangle DCF $，
∴ $ AE = DF $，$ \angle DAE = \angle CDF $。
∵ $ \angle CDF + \angle ADF = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle DAE + \angle ADF = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle APD = 90^{\circ} $，
∴ $ AE \perp DF $。
(2) 成立。
(3) 成立。理由如下:
同
(1) 可证 $ AE = DF $，$ \angle DAE = \angle CDF $。
如图，延长 $ FD $ 交 $ AE $ 于点 $ G $，则 $ \angle CDF + \angle ADG = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle ADG + \angle DAE = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle AGD = 90^{\circ} $，
∴ $ AE \perp DF $。
方法指导：求解运动问题时，往往前面问题的解答思路可用于后面问题的求解。

2 [2024临沂期末]在正方形ABCD中,E是边CD上一点(点E不与点C,D重合),连接BE.
【感知】如图1,过点A作AF⊥BE交BC于点F.易证△ABF≌△BCE.(不需要证明)
【探究】如图2,取BE的中点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.
(1)求证:BE= FG.
(2)连接CM.若CM= 1,则FG的长为____.
【应用】如图3,取BE的中点M,连接CM.过点C作CG⊥BE交AD于点G,连接EG,MG.若CM= 3,则四边形GMCE的面积

为____.

答案：
【探究】
(1) 证明: 如图，过点 $ A $ 作 $ AH // GF $ 交 $ BC $ 于点 $ H $，
∵ $ GF \perp BE $，
∴ $ AH \perp BE $，
∴ $ \angle ABE + \angle BAH = 90^{\circ} $。
∵ 四边形 $ ABCD $ 是正方形，

∴ $ AD // BC $，$ AB = BC $，$ \angle ABH = \angle BCE = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle ABE + \angle CBE = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle BAH = \angle CBE $。
在 $ \triangle ABH $ 和 $ \triangle BCE $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle BAH = \angle CBE, } \\ { AB = BC, } \\ { \angle ABH = \angle BCE, } \end{array} \right. $
∴ $ \triangle ABH \cong \triangle BCE ( \mathrm { ASA } ) $，
∴ $ AH = BE $。
∵ $ AH // GF $，$ AG // FH $，
∴ 四边形 $ AHFG $ 为平行四边形，
∴ $ AH = GF $，
∴ $ BE = FG $。
(2) $ 2 $
【应用】$ 9 $
在 $ \mathrm { Rt } \triangle BCE $ 中，$ \angle BCE = 90^{\circ} $，$ CM $ 是 $ BE $ 边上的中线，
∴ $ BE = 2 CM = 6 $。易证 $ \triangle BCE \cong \triangle CDG $，
∴ $ BE = CG = 6 $。又
∵ $ ME = \frac { 1 } { 2 } BE = 3 $，且 $ BE \perp CG $，
∴ $ S _ { \text { 四边形 } G M C E } = \frac { 1 } { 2 } M E \cdot C G = \frac { 1 } { 2 } \times 3 \times 6 = 9 $。