《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

3 [2025成都双流区月考]在菱形ABCD中,∠ABC= 60°,P是直线BD(不与点B,D重合)上一动点,以AP为边向右侧作等边三角形APE(A,P,E按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化.


(1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是______,BC与CE的位置关系是______.
(2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由.

答案：
解：
(1)$BP = CE$ $CE ⊥ BC$
如图 1，连接 $AC$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$∠ABC = 60^{\circ}$，
∴ $△ABC$ 是等边三角形，$∠ABD = ∠CBD = 30^{\circ}$，
∴ $AB = AC$，$∠ACB = ∠BAC = 60^{\circ}$。
∵ $△APE$ 是等边三角形，
∴ $AP = AE$，$∠PAE = 60^{\circ}$。
∵ $∠BAC = ∠PAE$，
∴ $∠BAP + ∠PAC = ∠CAE + ∠PAC$，
∴ $∠BAP = ∠CAE$，
∴ $△BAP \cong △CAE(SAS)$，
∴ $BP = CE$，$∠ABP = ∠ACE = 30^{\circ}$，
∴ $∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$，
∴ $CE ⊥ BC$。
　　　　　　　
(2)
(1)中结论仍然成立。理由如下：
如图 2，连接 $AC$，
∵ 四边形 $ABCD$ 是菱形，$∠ABC = 60^{\circ}$，
∴ $∠ABD = ∠CBD = 30^{\circ}$，$△ABC$ 为等边三角形，
∴ $AB = AC$，$∠ACB = ∠BAC = 60^{\circ}$，
∵ $△APE$ 是等边三角形，
∴ $AP = AE$，$∠EAP = 60^{\circ}$。
∵ $∠BAP = ∠BAC + ∠CAP = 60^{\circ} + ∠CAP$，$∠CAE = ∠EAP + ∠CAP = 60^{\circ} + ∠CAP$，
∴ $∠BAP = ∠CAE$，
在 $△ABP$ 和 $△ACE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} AB = AC,\\ ∠BAP = ∠CAE,\\ AP = AE,\end{array}\right.$
∴ $△ABP \cong △ACE(SAS)$，
∴ $BP = CE$，$∠ACE = ∠ABP = 30^{\circ}$，
∴ $∠BCE = ∠ACB + ∠ACE = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$，
∴ $CE ⊥ BC$。
　　　　　　　

4 [2024韶关期中节选]在正方形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点P是线段AO上的一个动点(不与点A,O重合),过点P作PE⊥PB,交边CD于点E.
(1)如图1,求证:PE= PB.
(2)如图2,若正方形ABCD的边长为2,过点E作EF⊥AC于点F,在点P运动的过程中,PF的长度是否发生变化?若不变,试求出PF的长;若变化,请说明理由.
(3)用等式表示线段PC,PA,EC之间的数量关系.

答案：

(1)证明：如图 1，过点 $P$ 作 $MN // AD$，交 $AB$ 于点 $M$，交 $CD$ 于点 $N$。
∵ $PB ⊥ PE$，
∴ $∠BPE = 90^{\circ}$，
∴ $∠MPB + ∠EPN = 90^{\circ}$。
∵ 四边形 $ABCD$ 是正方形，
∴ $∠BAD = ∠D = 90^{\circ}$。
∵ $AD // MN$，
∴ $∠BMP = ∠BAD = 90^{\circ}$，$∠PNE = ∠D = 90^{\circ}$，
∴ $∠MPB + ∠MBP = 90^{\circ}$，
∴ $∠EPN = ∠MBP$。
在 $Rt△PNC$ 中，$∠PCN = 45^{\circ}$，
∴ $△PNC$ 是等腰直角三角形，
∴ $PN = CN$，
∴ $BM = CN = PN$。
在 $△BMP$ 和 $△PNE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠PBM = ∠EPN,\\ BM = PN,\\ ∠BMP = ∠PNE,\end{array}\right.$
∴ $△BMP \cong △PNE$，
∴ $PB = PE$。
　　　　　
(2)解：在点 $P$ 运动的过程中，$PF$ 的长度不发生变化。理由如下：
如图 2，连接 $OB$。
∵ 点 $O$ 是正方形 $ABCD$ 对角线 $AC$ 的中点，
∴ $OB ⊥ AC$，
∴ $∠AOB = 90^{\circ}$，
∴ $∠OBP + ∠BPO = 90^{\circ}$。
∵ $∠BPE = 90^{\circ}$，
∴ $∠BPO + ∠FPE = 90^{\circ}$，
∴ $∠OBP = ∠FPE$。
∵ $EF ⊥ AC$，
∴ $∠EFP = ∠AOB = 90^{\circ}$。
由
(1)得 $PB = PE$。
在 $△OBP$ 和 $△FPE$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠OBP = ∠FPE,\\ ∠BOP = ∠PFE,\\ PB = EP,\end{array}\right.$
∴ $△OBP \cong △FPE(AAS)$，
∴ $OB = PF$。
∵ $AB = 2$，$△ABO$ 是等腰直角三角形，
∴ $OB = \sqrt{2}$，
∴ $PF$ 的长为 $\sqrt{2}$。
　　　　　
(3)解：$PC = PA + \sqrt{2}EC$。
如图 1，
∵ $∠BAC = 45^{\circ}$，
∴ $△AMP$ 是等腰直角三角形，
∴ $PA = \sqrt{2}PM$。
由
(1)知 $PM = NE$，
∴ $PA = \sqrt{2}NE$。
∵ $△PCN$ 是等腰直角三角形，
∴ $PC = \sqrt{2}NC = \sqrt{2}(NE + EC) = \sqrt{2}NE + \sqrt{2}EC = PA + \sqrt{2}EC$。