《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

9 [2025 石家庄月考]嘉嘉和淇淇用配方法解一元二次方程 $4x^{2}-4x - 3 = 0$,对于嘉嘉和淇淇的解答过程,下列判断正确的是(C)
嘉嘉：$4x^{2}-4x - 3 = 0\rightarrow4x^{2}-4x + 1 = 3 + 1\rightarrow(2x - 1)^{2}= 4\rightarrow$解得 $x_{1}= \frac{3}{2}$,$x_{2}= -\frac{1}{2}$。
淇淇：$4x^{2}-4x - 3 = 0\rightarrow4(x^{2}-x+\frac{1}{4}) = 3 + 1\rightarrow4(x - \frac{1}{2})^{2}= 4\rightarrow$解得 $x_{1}= \frac{3}{2}$,$x_{2}= -\frac{1}{2}$。
A. 只有嘉嘉对
B. 只有淇淇对
C. 两人的都对
D. 两人的都不对

答案： C

10 [2024 周口月考]已知方程 $(x^{2}+2x)(x^{2}+2x - 2)-8 = 0$,则 $x^{2}+2x$ 的值为(4)
A. $-2$ 或 4
B. 4
C. $-2$
D. 2 或 $-4$

答案： B 设 $x^{2}+2x = y$，则原方程化为 $y(y - 2)-8 = 0$，即 $y^{2}-2y - 8 = 0$，配方，得 $(y - 1)^{2}=9$，解得 $y = 4$ 或 $y=-2$。当 $y = 4$ 时，$x^{2}+2x = 4$，配方，得 $(x + 1)^{2}=5$，此时方程有解；当 $y=-2$ 时，$x^{2}+2x=-2$，配方，得 $(x + 1)^{2}=-1$，此时方程无解，舍去。所以 $x^{2}+2x = 4$。

11 新趋势·过程性学习 [2025 北京人大附中期中]《代数学》中记载,形如 $x^{2}+8x = 33$ 的方程,求正数解的几何方法是：“如图 1,先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形,再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 $2x$ 的矩形,得到大正方形的面积为 $33 + 16 = 49$,则该方程的正数解为 $7 - 4 = 3$。”小聪按此方法解关于 $x$ 的方程 $x^{2}+10x + m = 0$ 时,构造出如图 2 所示的图形,已知阴影部分的面积为 50,则该方程的正数解为(D)

A. 6
B. $5\sqrt{3}-\frac{3}{2}$
C. $5\sqrt{3}-2$
D. $5\sqrt{3}-5$

答案： D 如题图 2，先构造一个面积为 $x^{2}$ 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为 $\frac{5}{2}x$ 的矩形，得到大正方形的面积为 $50+(\frac{5}{2})^{2}×4 = 75$，所以该方程的正数解为 $\sqrt{75}-\frac{5}{2}×2 = 5\sqrt{3}-5$。

12 小华设计了一个魔术盒,将任意实数对 $(a,b)$ 放入其中,会得到一个新的实数 $a^{2}-2b - 3$。若将实数对 $(2x,-x)$ 放入其中可得到实数 $-1$,则 $x$ 的值为$\frac{1}{2}$ 或 $-1$。

答案： $\frac{1}{2}$ 或 $-1$ 由题意可得 $4x^{2}+2x - 3=-1$，整理、配方得 $(x+\frac{1}{4})^{2}=\frac{9}{16}$，解得 $x_{1}=-1$，$x_{2}=\frac{1}{2}$。

13 [2024 福州屏东中学期中]等腰三角形的两边长 $a$,$b$ 满足 $a^{2}+b^{2}-6a - 14b + 58 = 0$,则这个三角形的周长为______17。

答案： 17 $\because a^{2}+b^{2}-6a - 14b + 58 = 0$，$\therefore(a^{2}-6a + 9)+(b^{2}-14b + 49)=0$，$\therefore(a - 3)^{2}+(b - 7)^{2}=0$，$\because(a - 3)^{2}\geq0$，$(b - 7)^{2}\geq0$，$\therefore a = 3$，$b = 7$。当 $a$ 是腰长时，长为 $3$，$3$，$7$ 的线段不能构成三角形，舍去。当 $b$ 是腰长时，长为 $7$，$7$，$3$ 的线段能构成三角形，此时三角形的周长为 $7 + 7 + 3 = 17$。

14 [2025 盐城盐都区第一共同体月考节选]如图 1,将边长为 2 的正方形一边保持不变,另一组对边增加 $2a + 2(a ＞ 0)$,得到如图 2 所示的新长方形,此长方形的面积为 $S_{1}$；将正方形的边长增加 $a + 1(a ＞ 0)$,得到如图 3 所示的新正方形,此正方形的面积为 $S_{2}$。
(1)用含 $a$ 的代数式表示 $S_{1}$,$S_{2}$；$S_{1}=$$2(2a + 4)$，$S_{2}=$$(a + 3)^{2}$。
(2)比较 $S_{1}$,$S_{2}$ 的大小。$S_{2}＞S_{1}$

答案： 解：
(1) $S_{1}=2(2a + 4)$，$S_{2}=(a + 3)^{2}$。
(2) 由
(1)可得，$S_{2}-S_{1}=(a + 3)^{2}-2(2a + 4)=a^{2}+6a + 9 - 4a - 8=a^{2}+2a + 1=(a + 1)^{2}$。
$\because(a + 1)^{2}＞0(a ＞ 0)$，$\therefore S_{2}-S_{1}＞0$。
$\therefore S_{2}＞S_{1}$。

15 运算能力 一题多解 [2024 合肥期中]已知关于 $x$ 的方程 $a(x + c)^{2}+b = 0$($a$,$b$,$c$ 为常数,$a\neq0$)的两根分别为 $x_{1}= -2$,$x_{2}= 1$,那么关于 $x$ 的方程 $a(x + c - 2)^{2}+b = 0$ 的两根分别为$x_{1}=3$，$x_{2}=0$。

答案： $x_{1}=3$，$x_{2}=0$ 解法一 $\because$ 方程 $a(x + c)^{2}+b = 0$（$a$，$b$，$c$ 为常数，$a\neq0$）的两根分别为 $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$，$\therefore a(-2 + c)^{2}+b = 0$ 且 $a(1 + c)^{2}+b = 0$，$\therefore(-2 + c)^{2}=-\frac{b}{a}$ 且 $(1 + c)^{2}=-\frac{b}{a}$，$\therefore(-2 + c)^{2}=(1 + c)^{2}$。$\because-2 + c\neq1 + c$，$\therefore-2 + c + 1 + c = 0$，解得 $c=\frac{1}{2}$，$\therefore-\frac{b}{a}=(-2+\frac{1}{2})^{2}=\frac{9}{4}$。$\because a(x + c - 2)^{2}+b = 0$，$\therefore(x+\frac{1}{2}-2)^{2}=\frac{9}{4}$，$\therefore x-\frac{3}{2}=\pm\frac{3}{2}$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=0$。
解法二 $\because$ 方程 $a(x + c)^{2}+b = 0$（$a$，$b$，$c$ 为常数，$a\neq0$）的两根分别为 $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$，$\therefore$ 方程 $a(x + c - 2)^{2}+b = 0$，即 $a[(x - 2)+c]^{2}+b = 0$ 中 $x$ 满足 $x - 2 = 1$ 或 $x - 2=-2$，$\therefore x_{1}=3$，$x_{2}=0$。