《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 教材P44T1变式[2023黑龙江龙东地区中考]
如图,在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是$3600m^2,$则小路的宽是(5 m)

A. 5m
B. 70m
C. 5m或70m
D. 10m

答案： A 设小路的宽是 $ x $ m，则种花卉的部分可合成长为 $ (100 - 2x) $ m，宽为 $ (50 - 2x) $ m 的矩形，根据题意，得 $ (100 - 2x)(50 - 2x) = 3600 $，整理，得 $ x^{2} - 75x + 350 = 0 $，解得 $ x_{1} = 5 $， $ x_{2} = 70 $（不合题意，舍去），所以小路的宽是 5 m.（在解决实际问题时，必须检验求得的解能否保证实际问题有意义）
解题通法
列一元二次方程解决面积问题时，常用的方法是通过平移变换，化不规则图形为规则图形，再利用图形面积公式列一元二次方程，进而解决问题.

2 教材P45T2变式[2025张家口宣化区期中]某校举办艺术节,为了展示同学们的美术和科技作品,现用长42m的绳子,靠墙围成如图所示的矩形展览区域,墙长为a m.(捆扎处绳子长度忽略不计)

(1)设AB边的长为x m,则BC边的长为(42 - 3x)m,展览区(矩形ABCD)的面积为x(42 - 3x)$m^2.($用含x的代数式表示)
(2)当a= 20时,所围成的展览区总面积为$144m^2,$求BC的长.
(3)能否围成总面积为$150m^2$的展览区？请说明理由.

答案： 解：
(1) $ (42 - 3x) $ $ x(42 - 3x) $
根据题意，得 $ 3x + BC = 42 $，即 $ BC = 42 - 3x $，
∴ 矩形 $ ABCD $ 的面积为 $ x(42 - 3x) $ $ m^{2} $.
(2) 若 $ a = 20 $，能围成的展区总面积为 $ 144 m^{2} $，
根据题意，得 $ x(42 - 3x) = 144 $，
解得 $ x = 6 $ 或 $ x = 8 $，
当 $ x = 6 $ 时， $ 42 - 3x = 24 ＞ 20 $，不符合题意；
当 $ x = 8 $ 时， $ 42 - 3x = 18 ＜ 20 $，符合题意.
∴ $ BC $ 的长为 18 m.
(3) 不能. 理由如下：
根据题意，得 $ x(42 - 3x) = 150 $，
整理，得 $ x^{2} - 14x + 50 = 0 $，
∵ $ \Delta = (-14)^{2} - 4 \times 50 = -4 ＜ 0 $，
∴ 方程无实数解，
∴ 不能围成总面积为 $ 150 m^{2} $ 的展区.

3 应用意识 教材P44随堂练习变式[2025衡水九中期中]要在一块长16m、宽12m的矩形荒地上建造一个花园,要求花园面积是荒地面积的一半,下面分别是小华与小芳的设计方案.

小华：我的设计方案：如图1,矩形荒地四个角均为两直角边长分别是6m,8m的直角三角形.
小芳：我的设计方案：如图2,其中花园四周小路的宽度均为1m.
(1)同学们都认为小华的方案是正确的,但对小芳的方案是否符合条件有不同意见,你认为小芳的方案符合条件吗？若不符合,请用方程的方法说明理由.
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你所设计的草图,并将花园部分涂上阴影.

答案：
解：
(1) 不符合. 理由如下：
设小路的宽度均为 $ x $ m，
根据题意，得 $ (16 - 2x)(12 - 2x) = \frac{1}{2} \times 16 \times 12 $，
解得 $ x_{1} = 2 $， $ x_{2} = 12 $（不符合题意，舍去）.
∴ 小路的宽度均为 2 m，
∴ 小芳的方案不符合条件.
(2) 答案不唯一.
例如：