《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 解下列方程：
(1)[2024深圳平安里学校月考]$\frac {1}{4}(x+1)^{2}= 25;$
解:方程两边同乘4,得$(x+1)^{2}=100$,
两边开平方,得$x+1=\pm 10$,
即$x+1=10$或$x+1=-10$,
$\therefore x_{1}=$9,$x_{2}=$-11.
(2)[2025玉溪红塔区月考]$(2x+3)^{2}= (3x+2)^{2}.$
解:两边开平方,得$2x+3=3x+2$或$2x+3=-3x-2$,
$\therefore x_{1}=$1,$x_{2}=$-1.

答案： 解:
(1)方程两边同乘4,得$(x+1)^{2}=100$,
两边开平方,得$x+1=\pm 10$,
即$x+1=10$或$x+1=-10$,
$\therefore x_{1}=9,x_{2}=-11$.
(2)两边开平方,得$2x+3=3x+2$或$2x+3=-3x-2$,
$\therefore x_{1}=1,x_{2}=-1$.

2 解下列方程：
(1)$-x^{2}+2x+3= 0;$ 解:方程可化为$x^{2}-2x-3=0$,移项,得$x^{2}-2x=3$,配方,得$x^{2}-2x+1=3+1$,即$(x-1)^{2}=4$,两边开平方,得$x-1=\pm 2$,$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1$.
(2)$\frac {1}{4}x^{2}-6x+3= 0.$解:方程两边同乘4,得$x^{2}-24x+12=0$,移项,得$x^{2}-24x=-12$,配方,得$x^{2}-24x+144=-12+144$,即$(x-12)^{2}=132$,两边开平方,得$x-12=\pm 2\sqrt{33}$,即$x-12=2\sqrt{33}$或$x-12=-2\sqrt{33}$,$\therefore x_{1}=12+2\sqrt{33},x_{2}=12-2\sqrt{33}$.

答案： 解:
(1)方程可化为$x^{2}-2x-3=0$,
移项,得$x^{2}-2x=3$,
配方,得$x^{2}-2x+1=3+1$,即$(x-1)^{2}=4$,
两边开平方,得$x-1=\pm 2$,
$\therefore x_{1}=3,x_{2}=-1$.
(2)方程两边同乘4,得$x^{2}-24x+12=0$,
移项,得$x^{2}-24x=-12$,
配方,得$x^{2}-24x+144=-12+144$,
即$(x-12)^{2}=132$,
两边开平方,得$x-12=\pm 2\sqrt{33}$,
即$x-12=2\sqrt{33}$或$x-12=-2\sqrt{33}$,
$\therefore x_{1}=12+2\sqrt{33},x_{2}=12-2\sqrt{33}$.

3 解下列方程：
(1)[2025上海嘉定区月考]$2x(x+1)= x(x-1);$
解:原方程可变形为$2x(x+1)-x(x-1)=0$,
$x(2x+2-x+1)=0$,
$x(x+3)=0$,
$x=0$或$x+3=0$,
所以$x_{1}=$0,$x_{2}=$-3.
(2)[2025武威凉州区期中]$4(2-3x)^{2}= 9(x-1)^{2}.$
解:原方程可变形为$[2(2-3x)]^{2}=[3(x-1)]^{2}$,
$[2(2-3x)]^{2}-[3(x-1)]^{2}=0$,
$[2(2-3x)+3(x-1)][2(2-3x)-3(x-1)]=0$,
即$(1-3x)(7-9x)=0$,
$1-3x=0$或$7-9x=0$,
所以$x_{1}=$$\frac{1}{3}$,$x_{2}=$$\frac{7}{9}$.

答案： 解:
(1)原方程可变形为$2x(x+1)-x(x-1)=0$,
$x(2x+2-x+1)=0$,
$x(x+3)=0$,
$x=0$或$x+3=0$,
所以$x_{1}=0,x_{2}=-3$.
(2)原方程可变形为$[2(2-3x)]^{2}=[3(x-1)]^{2}$,
$[2(2-3x)]^{2}-[3(x-1)]^{2}=0$,
$[2(2-3x)+3(x-1)][2(2-3x)-3(x-1)]=0$,
即$(1-3x)(7-9x)=0$,
$1-3x=0$或$7-9x=0$,
所以$x_{1}=\frac{1}{3},x_{2}=\frac{7}{9}$.

4 解下列方程：
(1)[2024宜春期中]$x^{2}-3x= -1;$
解:原方程可化为$x^{2}-3x+1=0$,
$\because a=1,b=-3,c=1$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×1=5＞0$,
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore x_{1}=$$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,$x_{2}=$$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)[2025通辽期中]$x^{2}-\sqrt {2}x-\frac {1}{4}= 0.$
解:$\because a=1,b=-\sqrt{2},c=-\frac{1}{4}$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-\sqrt{2})^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})=3＞0$,
$\therefore x=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore x_{1}=$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2}$,$x_{2}=$$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.

答案： 解:
(1)原方程可化为$x^{2}-3x+1=0$,
$\because a=1,b=-3,c=1$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-3)^{2}-4×1×1=5＞0$,
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}$,
$\therefore x_{1}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},x_{2}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
(2)$\because a=1,b=-\sqrt{2},c=-\frac{1}{4}$,
$\therefore b^{2}-4ac=(-\sqrt{2})^{2}-4×1×(-\frac{1}{4})=3＞0$,
$\therefore x=\frac{\sqrt{2}\pm\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore x_{1}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{2},x_{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2}$.

5 解方程：$(x^{2}+5x+1)(x^{2}+5x+7)= 7.$

答案： 解:设$x^{2}+5x+1=t$,
则原方程可化为$t(t+6)=7$,
$\therefore t^{2}+6t-7=0$,解得$t=1$或$t=-7$.
当$t=1$时,$x^{2}+5x+1=1,\therefore x^{2}+5x=0$,
$\therefore x(x+5)=0,\therefore x=0$或$x+5=0$,
$\therefore x_{1}=0,x_{2}=-5$.
当$t=-7$时,$x^{2}+5x+1=-7$,
$\therefore x^{2}+5x+8=0$.
$\because a=1,b=5,c=8$,
$\therefore b^{2}-4ac=5^{2}-4×1×8=-7＜0$,
$\therefore$方程$x^{2}+5x+8=0$无解.
综上,原方程的解为$x_{1}=0,x_{2}=-5$.