《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2025 石家庄三十九中月考]配方法解方程 $2x^{2}-4x - 6 = 0$,变形正确的是(D)
A. $(x + 2)^{2}= 10$
B. $(x - 2)^{2}= 10$
C. $(x + 1)^{2}= 4$
D. $(x - 1)^{2}= 4$

答案： D 把方程 $2x^{2}-4x - 6 = 0$ 的常数项移到等号的右边，得到 $2x^{2}-4x = 6$，把二次项系数化为 1，得 $x^{2}-2x = 3$，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得 $x^{2}-2x+(-1)^{2}=3+(-1)^{2}$，所以 $(x - 1)^{2}=4$。

2 [2024 东莞期末]将一元二次方程 $2x^{2}-\frac{4}{3}x - 2 = 0$ 用配方法化为 $(x - h)^{2}= k$ 的形式,则 $k$ 的值为($\frac{10}{9}$)
A. $\frac{8}{9}$
B. 0
C. $\frac{19}{9}$
D. $\frac{10}{9}$

答案： D 方程 $2x^{2}-\frac{4}{3}x - 2 = 0$ 变形，得 $x^{2}-\frac{2}{3}x = 1$，配方，得 $x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}$，即 $(x-\frac{1}{3})^{2}=\frac{10}{9}$，所以 $k=\frac{10}{9}$。

3 [2024 南阳月考]下列是小明同学用配方法解方程 $2x^{2}-12x - 1 = 0$ 的过程：
解：$2x^{2}-12x = 1$,(第 1 步)
$x^{2}-6x = 1$,(第 2 步)
$x^{2}-6x + 9 = 1 + 9$,(第 3 步)
$(x - 3)^{2}= 10$,$x - 3= \pm\sqrt{10}$,(第 4 步)
$\therefore x_{1}= 3+\sqrt{10}$,$x_{2}= 3-\sqrt{10}$。
最开始出现错误的是第______2步。

答案： 2 第 2 步，方程两边同除以 2，应为 $x^{2}-6x=\frac{1}{2}$。

4 一题多解 若一元二次方程 $4x^{2}+12x - 27 = 0$ 的两根为 $a$,$b$,且 $a ＞ b$,则 $3a + b$ 的值为______0。

答案： 0 解法一 $4x^{2}+12x - 27 = 0$，移项，得 $4x^{2}+12x = 27$，二次项系数化为 1，得 $x^{2}+3x=\frac{27}{4}$，配方，得 $x^{2}+3x+(\frac{3}{2})^{2}=\frac{27}{4}+(\frac{3}{2})^{2}$，即 $(x+\frac{3}{2})^{2}=9$，所以 $x+\frac{3}{2}=\pm3$，所以 $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{9}{2}$。因为一元二次方程 $4x^{2}+12x - 27 = 0$ 的两根为 $a$，$b$，且 $a ＞ b$，所以 $a=\frac{3}{2}$，$b=-\frac{9}{2}$，所以 $3a + b = 0$。
解法二 $4x^{2}+12x - 27 = 0$ 可化为 $(2x)^{2}+2×2x×3 = 27$，配方，得 $(2x)^{2}+2×2x×3+3^{2}=27+3^{2}$，即 $(2x + 3)^{2}=36$，所以 $2x + 3=\pm6$，所以 $x_{1}=\frac{3}{2}$，$x_{2}=-\frac{9}{2}$。因为一元二次方程 $4x^{2}+12x - 27 = 0$ 的两根为 $a$，$b$，且 $a ＞ b$，所以 $a=\frac{3}{2}$，$b=-\frac{9}{2}$，所以 $3a + b = 0$。

5 解下列方程：
(1)一题多解 [2024 成都期中] $9x^{2}+6x - 1 = 0$；
(2)[2024 池州贵池区期中] $2x^{2}-1 = 2x$。

答案： 解：
(1) 解法一 两边同除以 9，得 $x^{2}+\frac{2}{3}x-\frac{1}{9}=0$，
移项，得 $x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{1}{9}$，
配方，得 $x^{2}+\frac{2}{3}x+(\frac{1}{3})^{2}=\frac{1}{9}+(\frac{1}{3})^{2}$，即 $(x+\frac{1}{3})^{2}=\frac{2}{9}$，
两边开平方，得 $x+\frac{1}{3}=\pm\frac{\sqrt{2}}{3}$，
即 $x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ 或 $x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$，
所以 $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{2}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{2}}{3}$。
解法二 移项，得 $9x^{2}+6x = 1$，
两边都加 1，得 $9x^{2}+6x + 1 = 2$，即 $(3x + 1)^{2}=2$，
两边开平方，得 $3x + 1=\pm\sqrt{2}$，
即 $3x + 1=\sqrt{2}$ 或 $3x + 1=-\sqrt{2}$，
所以 $x_{1}=\frac{-1+\sqrt{2}}{3}$，$x_{2}=\frac{-1-\sqrt{2}}{3}$。
(2) 移项，得 $2x^{2}-2x - 1 = 0$，
两边同除以 2，得 $x^{2}-x-\frac{1}{2}=0$，
移项，得 $x^{2}-x=\frac{1}{2}$，
配方，得 $x^{2}-x+(-\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})^{2}$，即 $(x-\frac{1}{2})^{2}=\frac{3}{4}$，
两边开平方，得 $x-\frac{1}{2}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即 $x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，
所以 $x_{1}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$x_{2}=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$。
解题通法
用配方法解一元二次方程的步骤
(1) 化——把原方程化为 $x^{2}+bx = c$ 的形式；
(2) 配——在方程的左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，配成 $(x + m)^{2}=n$ 的形式；
(3) 求——若 $n\geq0$，则两边开平方，求出方程的根为 $x=-m\pm\sqrt{n}$，若 $n ＜ 0$，则此方程没有实数根。

6 [2024 湘潭期末]若 $x$ 为任意有理数,则多项式 $4x - 4 - x^{2}$ 的值(C)
A. 一定为正数
B. 一定为负数
C. 不可能为正数
D. 可能为任意有理数

答案： C $4x - 4 - x^{2}=-x^{2}+4x - 4=-(x^{2}-4x + 4)=-(x - 2)^{2}$，$\because(x - 2)^{2}\geq0$，$\therefore-(x - 2)^{2}\leq0$，$\therefore$ 多项式 $4x - 4 - x^{2}$ 的值不可能为正数。
归纳总结
代数式的配方与方程的配方的区别
(1) 将二次项系数化为 1 时，代数式是提出二次项系数，而方程是直接除以二次项系数；
(2) 配方时，代数式是先加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，而方程是两边同时加上一次项系数一半的平方。

7 [2024 德州五中月考]已知 $M = m^{2}-2m$,$N = 6m - 25$($m$ 为任意实数),则 $M$,$N$ 的大小关系为(B)
A. $M ＜ N$
B. $M ＞ N$
C. $M = N$
D. 不能确定

答案： B 根据题意，得 $M - N=m^{2}-2m - 6m + 25=m^{2}-8m + 16 + 9=(m - 4)^{2}+9＞0$，所以 $M ＞ N$。

8 新趋势·过程性学习 [2025 哈尔滨道外区期中]先阅读下面的内容,再解决问题。
例题：若 $m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,求 $m$ 和 $n$ 的值。
解：$\because m^{2}+2mn + 2n^{2}-6n + 9 = 0$,
$\therefore m^{2}+2mn + n^{2}+n^{2}-6n + 9 = 0$,
$\therefore (m + n)^{2}+(n - 3)^{2}= 0$,
$\therefore m + n = 0$,$n - 3 = 0$,$\therefore m = - 3$,$n = 3$。
问题：若 $x^{2}+2xy + 2y^{2}-4y + 4 = 0$,求 $xy$ 的值。
解：$\because x^{2}+2xy + 2y^{2}-4y + 4 = 0$，
$\therefore x^{2}+2xy + y^{2}+y^{2}-4y + 4 = 0$，
$\therefore(x + y)^{2}+(y - 2)^{2}=0$，
$\therefore x + y = 0$，$y - 2 = 0$，
$\therefore x=-2$，$y = 2$，
$\therefore xy=$$-4$。

答案： 解：$\because x^{2}+2xy + 2y^{2}-4y + 4 = 0$，
$\therefore x^{2}+2xy + y^{2}+y^{2}-4y + 4 = 0$，
$\therefore(x + y)^{2}+(y - 2)^{2}=0$，
$\therefore x + y = 0$，$y - 2 = 0$，
$\therefore x=-2$，$y = 2$，
$\therefore xy=(-2)×2=-4$。