《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 天星原创 甲、乙、丙、丁四位同学参加校乒乓球单打比赛,通过抽签来确定对手,甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是( )

A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{3}$

答案：
1 D 画树状图如下：

由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中甲、乙两位同学恰好抽到同一组的结果有 4 种，（丙和丁一组时，甲和乙也是一组）则甲、乙两位同学恰好抽到同一组对打的概率是 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。

2 一个不透明的袋子中装有两个黄球、一个红球和一个白球,这些球除颜色外其余均相同。
(1)搅匀后,从袋中随机摸出一个球,恰好是黄球的概率是____；
(2)搅匀后,从袋中随机摸出两个球,则摸到一个红球和一个黄球的概率是____。

答案：
2
(1) $\frac{1}{2}$；
(2) $\frac{1}{3}$
(1)因为袋子中共有四个球，其中黄球有两个，所以从袋中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率是 $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2)将两个黄球分别记作黄₁，黄₂，画树状图如下：

由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个黄球的结果有 4 种，所以摸到一个红球和一个黄球的概率为 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
易错分析
本题的易错之处是在求解第
(2)问时，误认为随机摸出两个球，共可能出现“两黄”“一黄一红”“一黄一白”“一红一白”四种等可能的结果，所以随机摸出两个球，摸到一个红球和一个黄球的概率为 $\frac{1}{4}$。

3 如图是两个可以自由转动的转盘,转盘一被等分成了三个扇形,转盘二被分成不等的两个扇形,并分别标上 视频解题1,2,3 和 6,7 这五个数字。如果同时转动两个转盘各一次,转盘停止后(指针指在分界线时重转),指针指向的数字之和为偶数的概率是( )

A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{2}{9}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $\frac{1}{3}$

答案：
3 C 将题图中转盘二标 6 的部分平均分成三部分，分别记为 6，6，6，即将转盘二平均分成四份，画树状图如下：

由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中指针指向的数字之和为偶数的结果有 5 种，所以指针指向的数字之和为偶数的概率是 $\frac{5}{12}$。
疑难集训
易错分析
计算此类概率问题的关键是注意事件发生的可能性是否相等，转动转盘一共有三种情形，其中每种发生的可能性各占 $\frac{1}{3}$，而转盘二发生 6 和 7 的两种情形的可能性并不相等，容易画出错误的树状图如下：

错误地得到指针指向的数字之和为偶数的概率是 $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，导致错选 A。

4 [2025 西安理工大学附中月考]用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘,若其中一个转出红色,另一个转出蓝色即可配成紫色,则可配成紫色的概率是($\frac{5}{12}$)

A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{5}{12}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{5}{8}$

答案： 4 B 将转盘一标“蓝”的部分平均分成两部分，分别记为蓝₁、蓝₂，即转盘一平均分成三份，列表如下：
转转盘二 红 红 蓝 黄
红 (红,红) (红,红) (红,蓝) (红,黄)
蓝₁ (蓝₁,红) (蓝₁,红) (蓝₁,蓝) (蓝₁,黄)
蓝₂ (蓝₂,红) (蓝₂,红) (蓝₂,蓝) (蓝₂,黄)
由表格可知，共有 12 种等可能的结果，其中能配成紫色的结果有 5 种，所以可配成紫色的概率是 $\frac{5}{12}$。

5 一个不透明的袋中装有三个球,分别标有数字 1,2,3,且这三个球除数字外其他完全相同。
视频解题
(1)如果一次摸出两个球,用画树状图或列表的方法求摸到的两个球标有的数字的积为奇数的概率。
(2)小明和小亮玩摸球游戏,游戏规则如下：先由小明随机摸出一个球,记下数字后放回,搅匀后再由小亮随机摸出一个球,记下数字。谁摸出的球的数字大,谁获胜。请你用画树状图或列表的方法分析游戏规则对双方是否公平,并说明理由。

答案： 5 解：
(1)列表如下：
积\第二个 1 2 3
1 2 3
2 2 6
3 3 6
由表格可知，共有 6 种等可能的结果，其中摸到的两个球标有的数字的积为奇数的结果数为 2，
∴ $P$（数字的积为奇数）$=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
(2)游戏规则对双方公平. 理由如下：
列表如下：
小明\小亮 1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
由表格可知，$P$（小明获胜）$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，$P$（小亮获胜）$=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，
∵ $P$（小明获胜）$=P$（小亮获胜），
∴ 游戏规则对双方公平。