《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 教材 P107T1 变式 如果两个相似三角形对应角平分线的比是 $ 2:3 $,那么它们的对应边的比是(2:3)
A. $ 2:3 $
B. $ 4:9 $
C. $ 16:81 $
D. $ \sqrt{2}:\sqrt{3} $

答案： A
∵ 两个相似三角形对应角平分线的比是 $ 2:3 $，
∴ 它们的相似比是 $ 2:3 $，
∴ 它们的对应边的比是 $ 2:3 $。

2 已知 $ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $,且相似比为 $ 4:3 $,若 $ \triangle ABC $ 中 $ BC $ 边上的中线 $ AM = 8 $,则 $ \triangle DEF $ 中 $ EF $ 边上的中线 $ DN = $(6)
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： D
∵ $ \triangle ABC \backsim \triangle DEF $，相似比为 $ 4:3 $，
∴ $ \frac{AM}{DN} = \frac{4}{3} $，又
∵ $ AM = 8 $，
∴ $ \frac{8}{DN} = \frac{4}{3} $，
∴ $ DN = 6 $。

3 顺次连接三角形三边的中点,所得的三角形与原三角形对应边上的高的比是(D)
A. $ 1:4 $
B. $ 1:3 $
C. $ 1:\sqrt{2} $
D. $ 1:2 $

答案： D 由中位线的性质易得连接三角形三边的中点所得的三角形与原三角形相似且相似比为 $ 1:2 $，所以对应边上的高的比为 $ 1:2 $。

如图,$ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $,$ AD $,$ BE $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的高和中线,$ A'D' $,$ B'E' $ 分别是 $ \triangle A'B'C' $ 的高和中线. 若 $ AD = 4 $,$ A'D' = 3 $,$ BE = 6 $,则 $ B'E' $ 的长为______$\frac{9}{2}$.

答案： $ \frac{9}{2} $ 因为 $ \triangle ABC \backsim \triangle A'B'C' $，所以 $ \frac{AD}{A'D'} = \frac{BE}{B'E'} $，又因为 $ AD = 4 $，$ A'D' = 3 $，$ BE = 6 $，所以 $ B'E' = \frac{9}{2} $。

5 教材 P107 例 1 变式 [2025 青岛三十九中期中] 如图,在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中,$ \angle A = 90^{\circ} $,$ AB = 4 \text{ cm} $,$ AC = 3 \text{ cm} $,在这个直角三角形内有一个正方形,正方形的一边 $ FG $ 在 $ BC $ 上,另两个顶点 $ E $,$ H $ 分别在边 $ AB $,$ AC $ 上. 则正方形 $ EFGH $ 的边长为______ $ \text{cm} $.

答案：
$ \frac{60}{37} $ 过点 $ A $ 作 $ AD \perp BC $ 于点 $ D $，交 $ EH $ 于点 $ O $，如图，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ \angle A = 90^{\circ} $，$ AB = 4 \text{ cm} $，$ AC = 3 \text{ cm} $，
∴ $ BC = \sqrt{AB^{2} + AC^{2}} = 5 \text{ cm} $，
∵ $ \frac{1}{2}BC \times AD = \frac{1}{2}AB \times AC $，
∴ $ AD = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} (\text{cm}) $。设正方形 $ EFGH $ 的边长为 $ x \text{ cm} $。
∵ 四边形 $ EFGH $ 是正方形，
∴ $ EH // BC $，
∴ $ \angle AEH = \angle B $，$ \angle AHE = \angle C $，
∴ $ \triangle AEH \backsim \triangle ABC $。
∴ $ \frac{AO}{AD} = \frac{EH}{BC} $，即 $ \frac{\frac{12}{5} - x}{\frac{12}{5}} = \frac{x}{5} $，解得 $ x = \frac{60}{37} $，即正方形 $ EFGH $ 的边长为 $ \frac{60}{37} \text{ cm} $。

6 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $,$ E $ 分别是 $ \triangle ABC $ 的边 $ AB $,$ AC $ 上的点,且 $ DE // BC $,$ CF $,$ EG $ 分别是 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 的中线,已知 $ AD:DB = 4:3 $,$ EG = 4 $,求 $ CF $ 的长.

解：∵ $ AD:DB = 4:3 $，∴ $ AD:AB = 4:7 $。∵ $ DE // BC $，∴ $ \angle ABC = \angle ADE $，$ \angle ACB = \angle AED $，∴ $ \triangle ABC \backsim \triangle ADE $。∵ $ CF $，$ EG $ 分别是 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 的中线，∴ $ \frac{EG}{CF} = \frac{AD}{AB} $，即 $ \frac{4}{CF} = \frac{4}{7} $，∴ $ CF = $7。

答案： 解：
∵ $ AD:DB = 4:3 $，
∴ $ AD:AB = 4:7 $。
∵ $ DE // BC $，
∴ $ \angle ABC = \angle ADE $，$ \angle ACB = \angle AED $，
∴ $ \triangle ABC \backsim \triangle ADE $。
∵ $ CF $，$ EG $ 分别是 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle ADE $ 的中线，
∴ $ \frac{EG}{CF} = \frac{AD}{AB} $，即 $ \frac{4}{CF} = \frac{4}{7} $，
∴ $ CF = 7 $。

7 [2025 上海黄浦区期中] 如图 1 是装了液体的高脚杯示意图(数据如图),用去一部分液体后如图 2 所示,此时液面 $ AB = $( )


A. $ 1 \text{ cm} $
B. $ 2 \text{ cm} $
C. $ 3 \text{ cm} $
D. $ 4 \text{ cm} $

答案：
7 C 如图 1，过 $ O $ 作 $ OM \perp CD $，垂足为点 $ M $，如图 2，过 $ O' $ 作 $ O'N \perp AB $，垂足为点 $ N $。易知 $ \triangle CDO \backsim \triangle ABO' $，
∴ $ \frac{CD}{AB} = \frac{OM}{O'N} $。
∵ $ OM = 15 - 7 = 8 (\text{cm}) $，$ O'N = 11 - 7 = 4 (\text{cm}) $，
∴ $ \frac{6}{AB} = \frac{8}{4} $，
∴ $ AB = 3 \text{ cm} $。

8 跨学科·物理 [2024 扬州中考] 物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法. 如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)$ AB $ 经小孔 $ O $ 在屏幕(竖直放置)上成像 $ A'B' $,设 $ AB = 36 \text{ cm} $,$ A'B' = 24 \text{ cm} $,小孔 $ O $ 到 $ AB $ 的距离为 $ 30 \text{ cm} $,则小孔 $ O $ 到 $ A'B' $ 的距离为______20$ \text{cm} $.

答案： 20 设小孔 $ O $ 到 $ A'B' $ 的距离为 $ x \text{ cm} $，由题意易得 $ \triangle ABO \backsim \triangle A'B'O $，则 $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{36}{24} = \frac{30}{x} $，解得 $ x = 20 $。