《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

9 [2024大庆中考]“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”是大庆市四个有代表性的旅游景点.若小娜从这四个景点中随机选择两个景点游览,则这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率是(D)
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

答案： D 将“铁人王进喜纪念馆”“龙凤湿地公园”“滨水绿道”和“数字大庆中心”这四个景点分别记为 A,B,C,D,列表如下:
第一个第二个 A B C D
A (A,B) (A,C) (A,D)
B (B,A) (B,C) (B,D)
C (C,A) (C,B) (C,D)
D (D,A) (D,B) (D,C)
由表格可知,共有 12 种等可能的结果,其中这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的结果有 6 种,所以这两个景点中有“铁人王进喜纪念馆”的概率为 $\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

10 [2024汕头龙湖区一模]二维码图案主要由黑、白两种小正方形组成,现对由三个小正方形组成的“”进行涂色,每个小正方形随机涂成黑色或白色,恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为( )
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案：
B 画树状图如下:

(当一个事件涉及三个或更多个元素时,为不重不漏地列出所有等可能的结果,通常采用画树状图法)
由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的结果有 3 种,所以恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为 $\frac{3}{8}$.

11 [2024包头包钢三中段考]在一个不透明的口袋中装有3个完全一样的小球,小球上分别标有数字1,2,3.先摸出一个小球,上面的数字记为a,放回袋子中摇匀后再摸出一个小球,上面的数字记为c,则使得关于x的一元二次方程$a x ^ { 2 } + 4 x + c = 0$有实数解的概率为(D)
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

答案： D 列表如下:
第一个第二个 1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
由表可知,共有 9 种等可能的结果,其中使得一元二次方程 $ax^2 + 4x + c = 0$ 有实数解($b^2 - 4ac = 16 - 4ac \geq 0$,即 $ac \leq 4$)的结果有 6 种,所以使得一元二次方程 $ax^2 + 4x + c = 0$ 有实数解的概率为 $\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.

12 跨学科·物理[2024内江中考]如图所示的电路中,当随机闭合开关$S _ { 1 }$,$S _ { 2 }$,$S _ { 3 }$中的两个时,灯泡能发光的概率为( )

A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{6}$

答案：
A 画树状图如下:

由树状图可知,共有 6 种等可能的结果,其中灯泡能发光的结果有 4 种,所以灯泡能发光的概率为 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

13 [2024黑龙江龙东地区中考]七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛,恰好选择1名男生和1名女生的概率是______.

答案：
$\frac{3}{5}$ 先将 2 名男生分别记作男 1,男 2,3 名女生分别记作女 1,女 2,女 3,画树状图如下:

由树状图可知,共有 20 种等可能的结果,其中所选的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的结果有 12 种,所以所选的 2 人恰好是 1 名男生和 1 名女生的概率为 $\frac{12}{20}=\frac{3}{5}$.

14 [2024徐州中考]不透明的袋子中装有2个红球与2个白球,这些球除颜色外无其他差别.
(1)甲从袋子中随机摸出1个球,摸到红球的概率为______；
(2)甲、乙两人分别从袋子中随机摸出1个球(不放回),用列表或画树状图的方法,求两人摸到相同颜色球的概率.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{2}$
(2)先将 2 个红球分别记作红 1,红 2,2 个白球分别记作白 1,白 2,画树状图如下:

由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,两人都摸到相同颜色的小球的结果有 4 种,
∴ 两人都摸到相同颜色的小球的概率为 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$.

15 应用意识[2024佛山顺德一中月考]骰子六个面上的点数分别是1,2,3,4,5,6.如图,正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈,跳圈游戏的规则为：游戏者掷一次骰子,骰子向上一面的点数是几,就沿正六边形的边按顺时针方向连续跳几个边长.
如：若从圈A起跳,第一次掷得的点数为3,就顺时针连续跳3个边长,落到圈D；若第二次掷得的点数为2,就从圈D开始顺时针连续跳2个边长,落到圈F……设游戏者从圈A起跳.
(1)小明随机掷一次骰子,求落回到圈A的概率$P _ { 1 }$=$\frac{1}{6}$；
(2)小亮随机掷两次骰子,用列表法或画树状图法求最后落回到圈A的概率$P _ { 2 }$=$\frac{1}{6}$,并指出他与小明落回到圈A的可能性一样吗？一样

答案： 解:
(1)因为共有 6 种等可能的结果,其中落回到圈 A 的结果只有 1 种,
所以落回到圈 A 的概率 $P_1=\frac{1}{6}$.
(2)列表如下:
第一次第二次 1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
由表格可知,共有 36 种等可能的结果,其中落回到圈 A 的有(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6),共 6 种结果,
所以最后落回到圈 A 的概率 $P_2=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$,
所以小亮与小明落回到圈 A 的可能性一样.