《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024 驻马店月考]下列各项中,以$x= \frac {b\pm \sqrt {b^{2}+4c}}{2}$为根的一元二次方程可能是(D)
A.$x^{2}+bx+c= 0$
B.$x^{2}+bx-c= 0$
C.$x^{2}-bx+c= 0$
D.$x^{2}-bx-c= 0$

答案： D A 项，方程的根为 $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 c } } { 2 } $，不符合题意；B 项，方程的根为 $ x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } + 4 c } } { 2 } $，不符合题意；C 项，方程的根为 $ x = \frac { b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 c } } { 2 } $，不符合题意；D 项，方程的根为 $ x = \frac { b \pm \sqrt { b ^ { 2 } + 4 c } } { 2 } $，符合题意。

2 [2025 连云港期中]小明在解方程$x^{2}-5x= -3$的过程中出现了错误,其解答过程如下:
解:$\because a= 1,b= -5,c= -3$,(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac= (-5)^{2}-4×1×(-3)= 37$,(第二步)
$\therefore x= \frac {5\pm \sqrt {37}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_{1}= \frac {5+\sqrt {37}}{2},x_{2}= \frac {5-\sqrt {37}}{2}$.(第四步)
(1)小明的解答是从第____一____步开始出错的;
(2)请写出本题正确的解答过程.
解：方程可化为 $ x ^ { 2 } - 5 x + 3 = 0 $，
这里 $ a = 1 $，$ b = - 5 $，$ c = 3 $，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 5 ) ^ { 2 } - 4 × 1 × 3 = 13 ＞ 0 $，
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 5 \pm \sqrt { 13 } } { 2 × 1 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 5 + \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 5 - \sqrt { 13 } } { 2 } $。

答案： 解：
(1)一
(2)方程可化为 $ x ^ { 2 } - 5 x + 3 = 0 $，
这里 $ a = 1 $，$ b = - 5 $，$ c = 3 $，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 5 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 3 = 13 ＞ 0 $，
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 5 \pm \sqrt { 13 } } { 2 \times 1 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 5 + \sqrt { 13 } } { 2 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 5 - \sqrt { 13 } } { 2 } $。

3 用公式法解下列方程:
(1)[2023 无锡中考]$2x^{2}+x-2= 0;$
解：这里 $ a = $2，$ b = $1，$ c = $-2，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = 1 ^ { 2 } - 4 × 2 × ( - 2 ) = $17，
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 1 \pm \sqrt { 17 } } { 4 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = $$\frac{-1+\sqrt{17}}{4}$，$ x _ { 2 } = $$\frac{-1-\sqrt{17}}{4}$。
(2)[2024 上海浦东新区期中]$3x^{2}-4= 2x.$
解：原方程可化为$3x^{2}-2x-4=0$，
这里 $ a = $3，$ b = $-2，$ c = $-4，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 × 3 × ( - 4 ) = $52＞ 0，
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 2 \pm \sqrt { 52 } } { 2 × 3 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = $$\frac{1+\sqrt{13}}{3}$，$ x _ { 2 } = $$\frac{1-\sqrt{13}}{3}$。
解题通法
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”
(1)化——若方程不是一般形式，则先把它化为一般形式 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $。(2)定——确定 $ a $，$ b $，$ c $ 的值。(3)算——计算 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值。(4)求——若 $ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $，则利用求根公式求出方程的根；若 $ b ^ { 2 } - 4 a c ＜ 0 $，则原方程没有实数根。

答案： 解：
(1)这里 $ a = 2 $，$ b = 1 $，$ c = - 2 $，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = 1 ^ { 2 } - 4 \times 2 \times ( - 2 ) = 17 $，
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { - 1 \pm \sqrt { 17 } } { 4 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { - 1 + \sqrt { 17 } } { 4 } $，$ x _ { 2 } = \frac { - 1 - \sqrt { 17 } } { 4 } $。
(2)原方程可化为 $ 3 x ^ { 2 } - 2 x - 4 = 0 $，
这里 $ a = 3 $，$ b = - 2 $，$ c = - 4 $，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 \times 3 \times ( - 4 ) = 52 ＞ 0 $，
$ \therefore x = \frac { - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } } { 2 a } = \frac { 2 \pm \sqrt { 52 } } { 2 \times 3 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { 1 + \sqrt { 13 } } { 3 } $，$ x _ { 2 } = \frac { 1 - \sqrt { 13 } } { 3 } $。
解题通法
用公式法解一元二次方程的“四个步骤”
(1)化——若方程不是一般形式，则先把它化为一般形式 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $。
(2)定——确定 $ a $，$ b $，$ c $ 的值。
(3)算——计算 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 的值。
(4)求——若 $ b ^ { 2 } - 4 a c \geq 0 $，则利用求根公式求出方程的根；若 $ b ^ { 2 } - 4 a c ＜ 0 $，则原方程没有实数根。

4 [2023 吉林中考]一元二次方程$x^{2}-5x+2= 0$根的判别式的值是(C)
A. 33
B. 23
C. 17
D.$\sqrt {17}$

答案： C $ \because a = 1 $，$ b = - 5 $，$ c = 2 $，$ \therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( - 5 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 \times 2 = 25 - 8 = 17 $。(注意 $ a $，$ b $，$ c $ 的符号)

关于 x 的方程$x^{2}+mx-2= 0$根的情况是(A)
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根

答案： A 由题意，得 $ \Delta = m ^ { 2 } + 8 ＞ 0 $，所以方程有两个不相等的实数根。
归纳总结
判断一元二次方程根的情况的两种方法
(1)关于一元二次方程根的情况的问题一般都与 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 有关，利用 $ b ^ { 2 } - 4 a c $ 与 0 的大小关系推出一元二次方程根的情况是解决这类问题的关键。
(2)也可以通过以下方式进行判断：①若一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 中左边是一个完全平方式，则该方程有两个相等的实数根；②若方程中 $ a $，$ c $ 异号，或 $ b \neq 0 $ 且 $ c = 0 $ 时，该方程有两个不相等的实数根。

6 新趋势·结论开放[2024 南通中考]已知关于 x的一元二次方程$x^{2}-2x+k= 0$有两个不相等的实数根. 请写出一个满足题意的 k 的值:-1.

答案： (答案不唯一) -1 $ \because $ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 x + k = 0 $ 有两个相等的实数根，$ \therefore \Delta = ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 k = 4 - 4 k ＞ 0 $，解得 $ k ＜ 1 $。故满足题意的 $ k $ 的值可以是 $ k = - 1 $。

7 [2025 南阳期中]已知关于 x 的一元二次方程$2x^{2}-mx+n= 0.$
(1)当$m-n= 4$时,请判断方程根的情况;方程有两个不相等的实数根
(2)若方程有两个相等的实数根,当$n= 2$时,求此时方程的根.$x_{1}=x_{2}=1$或$x_{1}=x_{2}=-1$

答案： 解：
(1)$ \Delta = ( - m ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \times n = m ^ { 2 } - 8 n $，
$ \because m - n = 4 $，$ \therefore n = m - 4 $，
$ \therefore \Delta = m ^ { 2 } - 8 ( m - 4 ) = m ^ { 2 } - 8 m + 32 = ( m - 4 ) ^ { 2 } + 16 $，
$ \because ( m - 4 ) ^ { 2 } \geq 0 $，$ \therefore \Delta ＞ 0 $，
$ \therefore $ 方程有两个不相等的实数根。
(2)根据题意，得 $ \Delta = ( - m ) ^ { 2 } - 4 \times 2 \times n = 0 $，
当 $ n = 2 $ 时，$ m ^ { 2 } - 16 = 0 $，
解得 $ m = 4 $ 或 $ m = - 4 $。
当 $ m = 4 $ 时，方程变形为 $ 2 x ^ { 2 } - 4 x + 2 = 0 $，解得 $ x _ { 1 } = x _ { 2 } = 1 $；
当 $ m = - 4 $ 时，方程变形为 $ 2 x ^ { 2 } + 4 x + 2 = 0 $，解得 $ x _ { 3 } = x _ { 4 } = - 1 $。