《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

如图1,平行四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点B,C分别作AC,BD的平行线,两线相交于点P.

(1)判断四边形BPCO的形状,并说明理由.
(2)若平行四边形ABCD满足AD⊥CD,其他条件不变,得到的四边形BPCO是什么四边形？并说明理由.
(3)若四边形BPCO是正方形,请判断四边形ABCD的形状,并说明理由.
(4)若将平行四边形ABCD改为菱形ABCD,且AC= 6cm,BD= 8cm,其他条件不变.
①得到的四边形BPCO是什么四边形？并说明理由.
②如图2,点G从点A向点C以2cm/s的速度移动了ts,连接BG,当$S_{△ABG}= 2S_{△OBG}$时,求t的值.
③如图3,点G在直线AC上运动,连接BG,PG,求BG+PG的最小值.

答案：
解:
(1)四边形BPCO为平行四边形.理由如下:
∵BP//AC,CP//BD,
∴四边形BPCO为平行四边形.
(2)四边形BPCO为菱形.理由如下:
解法一：
∵AD⊥CD,
∴∠ADC = 90°.
又
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD = AC,OB = $\frac{1}{2}$BD,OC = $\frac{1}{2}$AC,
∴OB = OC,
由
(1)知四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为菱形.
解法二：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC,OB = OD,
∵AD⊥CD,
∴∠ADC = 90°,
∴OD = OA = OC,
∴OB = OC,
由
(1)知四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为菱形.
(3)四边形ABCD是正方形.理由如下:
∵四边形BPCO是正方形，
∴OB = OC,OB⊥OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA = OC,OB = OD,
∴AC = BD,
∴四边形ABCD是矩形，
又
∵AC⊥BD,
∴四边形ABCD是正方形.
(4)①四边形BPCO为矩形.理由如下:
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD,即∠BOC = 90°,
由
(1)得，四边形BPCO为平行四边形，
∴四边形BPCO为矩形.
②
∵四边形ABCD是菱形，AC = 6cm,
∴OA = OC = 3cm.
∵S△ABC = 2S△OBC,
∴AG = 2OG,
∴2t = 2(3 - 2t)或2t = 2(2t - 3),解得t = 1或t = 3,
∴满足条件的t的值为1或3.
③如图,连接DG;
∵四边形ABCD是菱形，
∴点B与点D关于AC对称,
∴BG = DG,
∴BG + PG = DG + PG,
∴当P,G,D共线时,BG + PG的值最小
∴BG + PG的最小值为线段DP的长.
∵四边形ABCD是菱形,AC = 6cm,
∴OC = $\frac{1}{2}$AC = 3cm,
由①知四边形BPCO为矩形，
∴∠PBD = 90°.
在Rt△PBD中,BP = OC = 3cm,BD = 8cm,
∴DP = $\sqrt{BP^2 + BD^2}$ = $\sqrt{73}$cm,
∴BG + PG的最小值为 $\sqrt{73}$cm.