《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 如图,点C是线段AB的黄金分割点$(AC＜BC)$,则下列各式正确的是(B)

A. $\frac {AC}{BC}= \frac {AB}{AC}$
B. $\frac {BC}{AB}= \frac {AC}{BC}$
C. $\frac {AC}{AB}= \frac {BC}{AC}$
D. $\frac {BC}{AB}= \frac {AC}{AB}$

答案： B

2 [2025青岛崂山区期中]黄金比在文艺复兴时期被视为金子般的比例,比值约等于0.618.有研究发现,成人的理想体重与身高的关系是：体重$(kg)= 身高(cm)×(1-0.618)$.若王老师的身高是170 cm,下列选项中,最接近她的理想体重的是(C)
A. 60 kg
B. 63 kg
C. 65 kg
D. 67 kg

答案： C 最接近她的理想体重为 $ 170 \times (1 - 0.618) \approx 65 \, (\text{kg}) $。

3 [2025镇江期中]黄金分割被很多人认为是“最美比例”,是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理,能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品.在自然界中黄金分割也很常见,如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺,点B是线段AC的黄金分割点,$AB＞BC$,若$AC= 16cm$,那么AB的长为($(8\sqrt{5}-8)cm$)

A. $(24-8\sqrt {5})cm$
B. $(48-16\sqrt {5})cm$
C. $(8\sqrt {5}-8)cm$
D. $(16\sqrt {5}-16)cm$

答案： C $ \because $ 点 $ B $ 是线段 $ AC $ 的黄金分割点 $ (AB ＞ BC) $，$ \therefore AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AC $，$ \because AC = 16 \, \text{cm} $，$ \therefore AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \times 16 = (8\sqrt{5} - 8) \, (\text{cm}) $。

4 教材P98T1变式[2023达州中考]如图,乐器上的一根弦$AB= 80cm$,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为$80\sqrt{5}-160$cm.(结果保留根号)

答案： $ (80\sqrt{5} - 160) $ $ \because $ 点 $ C $ 是靠近点 $ B $ 的黄金分割点，$ AB = 80 \, \text{cm} $，$ \therefore AC = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \times 80 = (40\sqrt{5} - 40) \, (\text{cm}) $，$ \because $ 点 $ D $ 是靠近点 $ A $ 的黄金分割点，$ AB = 80 \, \text{cm} $，$ \therefore DB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \times 80 = (40\sqrt{5} - 40) \, (\text{cm}) $，$ \therefore CD = AC + BD - AB = 2(40\sqrt{5} - 40) - 80 = (80\sqrt{5} - 160) \, (\text{cm}) $，$ \therefore $ 支撑点 $ C $，$ D $ 之间的距离为 $ (80\sqrt{5} - 160) \, \text{cm} $。

5 教材P97随堂练习变式[2024南充中考]如图,已知线段AB,按以下步骤作图：①过点B作$BC⊥AB$,使$BC= \frac {1}{2}AB$,连接AC；②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D；③以点A为圆心,以AD长为半径画弧,交AB于点E.若$AE= mAB$,则m的值为($\frac{\sqrt{5}-1}{2}$)

A. $\frac {\sqrt {5}-1}{2}$
B. $\frac {\sqrt {5}-2}{2}$
C. $\sqrt {5}-1$
D. $\sqrt {5}-2$

答案： A 令 $ AB $ 的长为 $ 2a $，则 $ BC = \frac{1}{2}AB = a $，在 $ \text{Rt} \triangle ABC $ 中，$ AC = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{5}a $。$ \because CD = CB $，$ AE = AD $，$ \therefore AE = (\sqrt{5} - 1)a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \cdot 2a = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}AB $，所以 $ m $ 的值为 $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。

6 [2025成都青羊区期中]同学们学习了线段的黄金分割之后,曾老师提出了一个新的定义：点C是线段AB上一点,若$\frac {BC}{\sqrt {n}AC}= \frac {\sqrt {n}AC}{AB}= k_{n}$,则称点C为线段AB的“近A,n阶黄金分割点”.例如：若$\frac {BC}{\sqrt {2}AC}= \frac {\sqrt {2}AC}{AB}= k_{2}$,则称点C为线段AB的“近A,2阶黄金分割点”.若点C为线段AB的“近A,1阶黄金分割点”时,$k_{1}= $$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$；若点C为线段AB的“近A,6阶黄金分割点”时,$k_{6}= $$\frac{\sqrt{6}}{3}$.

答案： $ \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $ $ \frac{\sqrt{6}}{3} $ $ \because $ 点 $ C $ 为线段 $ AB $ 的“近 $ A $，1 阶黄金分割点”，$ \therefore \frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AB} = k_1 $，$ \therefore BC = k_1AC $。$ \because AB = BC + AC = k_1AC + AC $，$ \therefore \frac{AC}{k_1AC + AC} = k_1 $，整理，得 $ k_1^2 + k_1 - 1 = 0 $，$ \because k_1 ＞ 0 $，$ \therefore k_1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $。$ \because $ 点 $ C $ 为线段 $ AB $ 的“近 $ A $，6 阶黄金分割点”，$ \therefore \frac{BC}{\sqrt{6}AC} = \frac{\sqrt{6}AC}{AB} = k_6 $，$ \therefore BC = \sqrt{6}k_6AC $，$ \because $ 点 $ C $ 是线段 $ AB $ 上一点，$ \therefore AB = BC + AC = \sqrt{6}k_6AC + AC $，$ \because \frac{\sqrt{6}AC}{\sqrt{6}k_6AC + AC} = k_6 $，整理，得 $ \sqrt{6}k_6^2 + k_6 - \sqrt{6} = 0 $，$ \because k_6 ＞ 0 $，$ \therefore k_6 = \frac{\sqrt{6}}{3} $。

7 已知：如图,D是$\triangle ABC$的边AB上一点,且$AC^{2}= AB\cdot AD$.
(1)求证：$∠ADC= ∠ACB$.
证明：$ \because AC^2 = AB \cdot AD $，$ \therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} $，又 $ \because \angle A = \angle A $，$ \therefore \triangle ACD \sim \triangle ABC $，$ \therefore ∠ADC= ∠ACB $。
(2)若点D是线段AB的黄金分割点,$BD= AD+3$,求线段AD的长.
解：设 $ AD = x $，则 $ BD = x + 3 $，$ \therefore AB = 2x + 3 $，$ \because $ 点 $ D $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点，$ \therefore \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{AB} $，$ \therefore BD^2 = AD \cdot AB $，$ \therefore (x + 3)^2 = x(2x + 3) $，$ \therefore x^2 - 3x - 9 = 0 $，$ \therefore x_1 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} $，$ x_2 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2} $（舍去），$ \therefore AD = $$\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$。

答案：
(1) 证明：$ \because AC^2 = AB \cdot AD $，$ \therefore \frac{AD}{AC} = \frac{AC}{AB} $，又 $ \because \angle A = \angle A $，$ \therefore \triangle ACD \sim \triangle ABC $，$ \therefore \angle ADC = \angle ACB $。
(2) 解：设 $ AD = x $，则 $ BD = x + 3 $，$ \therefore AB = 2x + 3 $，$ \because $ 点 $ D $ 是线段 $ AB $ 的黄金分割点，$ \therefore \frac{AD}{BD} = \frac{BD}{AB} $，$ \therefore BD^2 = AD \cdot AB $，$ \therefore (x + 3)^2 = x(2x + 3) $，$ \therefore x^2 - 3x - 9 = 0 $，$ \therefore x_1 = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} $，$ x_2 = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2} $（舍去），$ \therefore AD = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} $。