《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

6 [2024烟台莱山区月考]已知a,b,c分别是三角形的三边,则方程$(a+b)x^{2}+2cx+a+b= 0$的根的情况是 (A)
A. 没有实数根
B. 有且只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 有两个不相等的实数根

答案： A $\Delta=(2 c)^{2}-4(a+b)^{2}=4\left[c^{2}-(a+b)^{2}\right]=4(a+b+c)(c-a-b)$，根据三角形三边关系，得 $a+b+c＞0, c-a-b＜0$，$\therefore \Delta＜0$，$\therefore$ 该方程没有实数根.

7 [一题多解][2025通辽期中]等腰三角形的三边长分别为a,b,2,且a,b是关于x的一元二次方程$x^{2}-8x+n+10= 0$的两根,则n的值为 (6)
A. 6
B. 6或-2
C. 2或6
D. 2

答案： 解法一 若 2 为底边长，则 $a=b$，即关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8 x+n+10=0$ 有两个相等的实数根，$\therefore \Delta=(-8)^{2}-4 \times(n+10)=0$，解得 $n=6$，此时方程的两根为 $x_{1}=x_{2}=4$，$\because$ 长为 $4,4,2$ 的三条线段能构成三角形，$\therefore n=6$ 符合题意. 若 2 为腰长，则 $a=2$ 或 $b=2$，$\therefore x=2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-8 x+n+10=0$ 的一个实数根，把 $x=2$ 代入方程，得 $2^{2}-8 \times 2+n+10=0$，解得 $n=2$，此时方程的两根分别为 $x_{1}=2, x_{2}=6$，$\because$ 长为 $2,2,6$ 的三条线段不能构成三角形，$\therefore n=2$ 不符合题意. 综上，$n$ 的值为 6.
解法二 当 2 为底边长时，$a=b$，由根与系数的关系，可知 $a+b=8$，$\therefore a=b=4$，$\therefore a b=n+10=4 \times 4$，解得 $n=6$，此时 $4,4,2$ 能围成三角形，$\therefore n=6$ 符合题意. 当 2 为腰长时，$a=2$ 或 $b=2$，$\therefore x=2$ 是方程 $x^{2}-8 x+n+10=0$ 的一个根，由根与系数的关系可知方程的另一个根为 $x=6$，但是长为 $6,2,2$ 的三条线段不能构成三角形，$\therefore$ 此种情况不存在. 综上，$n$ 的值为 6.

8 [2025内江月考]已知关于x的一元二次方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)= 0$,其中a,b,c为$\triangle ABC$三边的长.
(1)如果$x= -1$是方程的根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;$\triangle ABC$是等腰三角形.理由如下：$\because x=-1$是方程$(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$的根，$\therefore(a+c)×(-1)^{2}-2b+(a-c)=0$，$\therefore a+c-2b+a-c=0$，$\therefore a=b$，$\therefore\triangle ABC$是等腰三角形.
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由;$\triangle ABC$是直角三角形.理由如下：$\because$方程有两个相等的实数根，$\therefore\Delta=(2b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，$\therefore4b^{2}-4a^{2}+4c^{2}=0$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$，$\therefore\triangle ABC$是直角三角形.
(3)如果$\triangle ABC$是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.$\because\triangle ABC$是等边三角形，$\therefore a=b=c$，$\therefore(a+c)x^{2}+2bx+(a-c)=0$可化为$2ax^{2}+2ax=0$，$\therefore x^{2}+x=0$，解得$x_{1}=0,x_{2}=-1$.

答案： 解：
(1) $\triangle A B C$ 是等腰三角形. 理由如下：
$\because x=-1$ 是方程 $(a+c) x^{2}+2 b x+(a-c)=0$ 的根，
$\therefore(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$，
$\therefore a+c-2 b+a-c=0$，$\therefore a=b$，
$\therefore \triangle A B C$ 是等腰三角形.
(2) $\triangle A B C$ 是直角三角形. 理由如下：
$\because$ 方程有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=(2 b)^{2}-4(a+c)(a-c)=0$，
$\therefore 4 b^{2}-4 a^{2}+4 c^{2}=0$，$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$，
$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形.
(3) $\because \triangle A B C$ 是等边三角形，$\therefore a=b=c$，
$\therefore(a+c) x^{2}+2 b x+(a-c)=0$ 可化为 $2 a x^{2}+2 a x=0$，
$\therefore x^{2}+x=0$，
解得 $x_{1}=0, x_{2}=-1$.

9 [2025汕头潮南实验学校月考]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-mx+m-1= 0$.
(1)求证:无论m取何值,方程总有两个实数根.
证明：$\because \Delta=m^{2}-4(m-1)=m^{2}-4 m+4=(m-2)^{2} \geq 0$，$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程总有两个实数根.
(2)若平行四边形ABCD的两边AB,AD的长是该方程的两个实数根.
①当平行四边形ABCD是矩形,且$m= 5$时,求矩形的面积.
解：当 $m=5$ 时，方程为 $x^{2}-5 x+4=0$，解得 $x_{1}=1, x_{2}=4$，$\therefore A B, A D$ 的长分别为 $1,4$ 或 $4,1$，$\therefore$ 矩形的面积为 $A B \cdot A D=1 × 4=$4.
②当m取何值时,平行四边形ABCD是菱形? 并求菱形的边长.
解：$\because$ 平行四边形 $A B C D$ 是菱形，$\therefore A B=A D$，$\therefore \Delta=0$，即 $(m-2)^{2}=0$，解得 $m=$2，$\therefore$ 当 $m=$2时，平行四边形 $A B C D$ 是菱形，此时方程为 $x^{2}-2 x+1=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=1$，$\therefore$ 菱形的边长为1.

答案：
(1) 证明：$\because \Delta=m^{2}-4(m-1)=m^{2}-4 m+4=(m-2)^{2} \geq 0$，$\therefore$ 无论 $m$ 取何值，方程总有两个实数根.
(2) 解：①当 $m=5$ 时，方程为 $x^{2}-5 x+4=0$，
解得 $x_{1}=1, x_{2}=4$，
$\therefore A B, A D$ 的长分别为 $1,4$ 或 $4,1$，
$\therefore$ 矩形的面积为 $A B \cdot A D=1 \times 4=4$.
② $\because$ 平行四边形 $A B C D$ 是菱形，$\therefore A B=A D$，
$\therefore \Delta=0$，即 $(m-2)^{2}=0$，解得 $m=2$，
$\therefore$ 当 $m=2$ 时，平行四边形 $A B C D$ 是菱形，
此时方程为 $x^{2}-2 x+1=0$，解得 $x_{1}=x_{2}=1$，
$\therefore$ 菱形的边长为 1.