《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

8 [2024 黑龙江龙东地区中考]关于 x 的一元二次方程$(m-2)x^{2}+4x+2= 0$有两个实数根,则 m 的取值范围是(D)
A.$m≤4$
B.$m≥4$
C.$m≥-4且m≠2$
D.$m≤4且m≠2$

答案： D 根据题意，得 $ 16 - 4 ( m - 2 ) \times 2 \geq 0 $，且 $ m - 2 \neq 0 $，(易错点：忽略二次项系数不能为 0)解得 $ m \leq 4 $ 且 $ m \neq 2 $。

9 [2024 太原五中月考]小刚在解关于 x 的方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0)$时,只抄对了$a= 1,b= 4$,解出其中一个根是$x= -1$. 他核对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2,则原方程的根的情况是(不存在实数根)
A. 不存在实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 有一个根是$x= -1$
D. 有两个相等的实数根

答案： A $ \because $ 小刚在解关于 $ x $ 的方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $ 时，只抄对了 $ a = 1 $，$ b = 4 $，解出其中一个根是 $ x = - 1 $，$ \therefore ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 + c = 0 $，解得 $ c = 3 $，故原方程中 $ c = 5 $，则 $ b ^ { 2 } - 4 a c = 16 - 4 \times 1 \times 5 = - 4 ＜ 0 $，则原方程的根的情况是不存在实数根。

10 [2024 宿迁中考]规定:对于任意实数 a,b,c,有$[a,b]★c= ac+b$,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如$[2,3]★1= 2×1+3= 5$.若关于 x 的方程$[x,x+1]★(mx)= 0$有两个不相等的实数根,则 m 的取值范围为($m ＜ \frac { 1 } { 4 } $且$ m \neq 0 $)
A.$m＜\frac {1}{4}$
B.$m＞\frac {1}{4}$
C.$m＞\frac {1}{4}且m≠0$
D.$m＜\frac {1}{4}且m≠0$

答案： D 根据题意，得 $ x ( m x ) + x + 1 = 0 $，整理，得 $ m x ^ { 2 } + x + 1 = 0 $，$ \because $ 关于 $ x $ 的方程 $ [ x , x + 1 ] \star ( m x ) = 0 $ 有两个不相等的实数根，$ \therefore \Delta = 1 ^ { 2 } - 4 m \cdot 1 ＞ 0 $ 且 $ m \neq 0 $，解得 $ m ＜ \frac { 1 } { 4 } $ 且 $ m \neq 0 $。

11 用公式法解下列方程:
(1)$(2x+1)(2x-1)= 2\sqrt {2}x;$
解：原方程可化为$ 4 x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 2 } x - 1 = 0 $，
这里$ a = $$4$，$ b = $$- 2 \sqrt { 2 } $，$ c = $$- 1 $，
$\because b ^ { 2 } - 4 a c = $$8 - 4 × 4 × ( - 1 ) = 24$$＞ 0 $，
$\therefore x = $$\frac { 2 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 24 } } { 2 × 4 } = \frac { \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 6 } } { 4 } $，
$\therefore x _ { 1 } = $$\frac { \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } } { 4 } $，$ x _ { 2 } = $$\frac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } } { 4 } $。
(2)$3x^{2}-(x+2)^{2}+2x= 0.$
解：原方程可化为$ 2 x ^ { 2 } - 2 x - 4 = 0 $，即$ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $。
这里$ a = $$1$，$ b = $$- 1 $，$ c = $$- 2 $，
$\because b ^ { 2 } - 4 a c = $$1 - 4 × 1 × ( - 2 ) = 9$$＞ 0 $，
$\therefore x = $$\frac { 1 \pm \sqrt { 9 } } { 2 × 1 } = \frac { 1 \pm 3 } { 2 } $，
$\therefore x _ { 1 } = $$2$，$ x _ { 2 } = $$- 1 $。

答案： 解：
(1)原方程可化为 $ 4 x ^ { 2 } - 2 \sqrt { 2 } x - 1 = 0 $，
这里 $ a = 4 $，$ b = - 2 \sqrt { 2 } $，$ c = - 1 $，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = 8 - 4 \times 4 \times ( - 1 ) = 24 ＞ 0 $，
$ \therefore x = \frac { 2 \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 24 } } { 2 \times 4 } = \frac { \sqrt { 2 } \pm \sqrt { 6 } } { 4 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } } { 4 } $，$ x _ { 2 } = \frac { \sqrt { 2 } - \sqrt { 6 } } { 4 } $。
(2)原方程可化为 $ 2 x ^ { 2 } - 2 x - 4 = 0 $，即 $ x ^ { 2 } - x - 2 = 0 $。
这里 $ a = 1 $，$ b = - 1 $，$ c = - 2 $，
$ \because b ^ { 2 } - 4 a c = 1 - 4 \times 1 \times ( - 2 ) = 9 ＞ 0 $，
$ \therefore x = \frac { 1 \pm \sqrt { 9 } } { 2 \times 1 } = \frac { 1 \pm 3 } { 2 } $，
$ \therefore x _ { 1 } = 2 $，$ x _ { 2 } = - 1 $。

12 [2025 武威八中月考]已知关于 x 的一元二次方程$mx^{2}-(m+2)x+2= 0.$
(1)求证:不论 m 为何值,方程总有实数根.
(2)m 为何整数时,方程有两个不相等的正整数根?

答案：
(1)证明：$ \because a = m $，$ b = - ( m + 2 ) $，$ c = 2 $，
$ \therefore \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c = ( m + 2 ) ^ { 2 } - 8 m = m ^ { 2 } + 4 m + 4 - 8 m = m ^ { 2 } - 4 m + 4 = ( m - 2 ) ^ { 2 } \geq 0 $，
$ \therefore $ 不论 $ m $ 为何值，方程总有实数根。
(2)解：由题意知 $ m \neq 0 $，$ \therefore x = \frac { m + 2 \pm \sqrt { ( m - 2 ) ^ { 2 } } } { 2 m } $，
$ \therefore x _ { 1 } = \frac { m + 2 + m - 2 } { 2 m } = 1 $，$ x _ { 2 } = \frac { m + 2 - m + 2 } { 2 m } = \frac { 2 } { m } $。
$ \because m $ 是整数，方程有两个不相等的正整数根，
$ \therefore \frac { 2 } { m } = 2 $，解得 $ m = 1 $，
$ \therefore $ 当 $ m = 1 $ 时，方程有两个不相等的正整数根。
归纳总结
一元二次方程的根为整数需满足的条件
对于一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $，若方程的根为整数，则：
(1)$ \Delta = b ^ { 2 } - 4 a c $ 必须是一个完全平方数；
(2)$ - b \pm \sqrt { b ^ { 2 } - 4 a c } $ 必须是 $ 2 a $ 的整数倍。二者缺一不可。

13 推理能力[2024 珠海十一中期中]已知关于 x的一元二次方程$x^{2}-2(m+1)x+m^{2}+5= 0.$
(1)如果方程有两个实数根,求 m 的取值范围;
(2)如果等腰三角形 ABC 的一条边长为 7,其余两边的长恰好是该方程的两个根,求 m 的值.

答案： 解题思路：
(1)“方程有两个实数根”包含方程有两个不相等的实数根和方程有两个相等的实数根两种情况，根的判别式 $ \Delta \geq 0 $，解关于 $ m $ 的不等式即可得实数 $ m $ 的取值范围；
(2)分 7 为等腰三角形的底边长或腰长两种情况，讨论求解即可。
解：
(1)$ \because $ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 2 ( m + 1 ) x + m ^ { 2 } + 5 = 0 $ 有两个实数根，
$ \therefore \Delta = [ - 2 ( m + 1 ) ] ^ { 2 } - 4 ( m ^ { 2 } + 5 ) = 8 m - 16 \geq 0 $，
解得 $ m \geq 2 $，
$ \therefore m $ 的取值范围为 $ m \geq 2 $。
(2)分两种情况：
当 7 为底边长时，由题意，得 $ \Delta = 0 $，$ \therefore 8 m - 16 = 0 $，
解得 $ m = 2 $，此时一元二次方程为 $ x ^ { 2 } - 6 x + 9 = 0 $，
解得 $ x = 3 $，
$ 3 + 3 ＜ 7 $，不合题意，舍去；
当 7 为腰长时，将 $ x = 7 $ 代入，得 $ 49 - 14 ( m + 1 ) + m ^ { 2 } + 5 = 0 $，
解得 $ m = 4 $ 或 $ m = 10 $，
当 $ m = 4 $ 时，三边长分别为 3，7，7，可以构成三角形。
当 $ m = 10 $ 时，三边长分别为 7，7，15，
$ 7 + 7 ＜ 15 $，不合题意，舍去。
综上，$ m $ 的值为 4。