《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 如果$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}= \frac {e}{f}= \frac {2}{3}$($a,b,c,d,e,f$均为正数),那么下列选项中错误的是 (D)
A.$\frac {a+c}{b+d}= \frac {2}{3}$
B.$\frac {a+c+e}{b+d+f}= \frac {2}{3}$
C.$\frac {a+c}{b+d}= \frac {c+e}{d+f}$
D.$\frac {a-2c}{b+2d}= \frac {2}{3}$

答案： D $\because \frac { a } { b } = \frac { c } { d } = \frac { 2 } { 3 }$，$\therefore \frac { a } { b } = \frac { - 2 c } { - 2 d } = \frac { 2 } { 3 }$，$\therefore \frac { a - 2 c } { b - 2 d } = \frac { 2 } { 3 }$，故选项 D 错误. 易知选项 A，B，C 都正确.

变式 已知$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}= \frac {e}{f}= \frac {2}{3}(b+d+f≠0)$,且$a+c+e= 6$,则$b+d+f$的值为 (9)
A. 4
B. 6
C. 9
D. 12

答案： C 由$\frac { a } { b } = \frac { c } { d } = \frac { e } { f } = \frac { 2 } { 3 }$，得$\frac { a + c + e } { b + d + f } = \frac { 2 } { 3 }$，$\because a + c + e = 6$，$\therefore b + d + f = 6 \times \frac { 3 } { 2 } = 9$.

2 教材 P81T1 变式 若$\frac {a}{b}= \frac {c}{d}= \frac {e}{f}= \frac {1}{3}(3b-2d+f≠0)$,则$\frac {3a-2c+e}{3b-2d+f}$的值为 ($\frac{1}{3}$)
A.$\frac {1}{3}$
B. 1
C. 1.5
D. 3

答案： A $\because \frac { a } { b } = \frac { c } { d } = \frac { e } { f } = \frac { 1 } { 3 }$，$\therefore \frac { 3 a } { 3 b } = \frac { - 2 c } { - 2 d } = \frac { e } { f } = \frac { 1 } { 3 }$，$\therefore \frac { 3 a - 2 c + e } { 3 b - 2 d + f } = \frac { 1 } { 3 }$.

3 一题多解 教材 P80 例 2 变式 已知在四边形$ABCD和四边形A'B'C'D'$中,$\frac {AB}{A'B'}= \frac {BC}{B'C'}= \frac {CD}{C'D'}= \frac {DA}{D'A'}= \frac {4}{7}$,且四边形$ABCD的周长为24 cm$,求四边形$A'B'C'D'$的周长.

答案： 解：解法一 $\because \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { D A } { D ^ { \prime } A ^ { \prime } } = \frac { 4 } { 7 }$，$\therefore A B = \frac { 4 } { 7 } A ^ { \prime } B ^ { \prime }$，$B C = \frac { 4 } { 7 } B ^ { \prime } C ^ { \prime }$，$C D = \frac { 4 } { 7 } C ^ { \prime } D ^ { \prime }$，$A D = \frac { 4 } { 7 } A ^ { \prime } D ^ { \prime }$.$\because$ 四边形 $A B C D$ 的周长为 $A B + B C + C D + A D = 24 \mathrm { cm }$，$\therefore A B + B C + C D + A D = \frac { 4 } { 7 } ( A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } D ^ { \prime } + A ^ { \prime } D ^ { \prime } ) = 24 \mathrm { cm }$，$\therefore A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } D ^ { \prime } + A ^ { \prime } D ^ { \prime } = \frac { 7 } { 4 } \times 24 = 42 ( \mathrm { cm } )$，$\therefore$ 四边形 $A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime }$ 的周长为 $42 \mathrm { cm }$.
解法二 $\because \frac { A B } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } } = \frac { B C } { B ^ { \prime } C ^ { \prime } } = \frac { C D } { C ^ { \prime } D ^ { \prime } } = \frac { D A } { D ^ { \prime } A ^ { \prime } } = \frac { 4 } { 7 }$，$\therefore \frac { A B + B C + C D + D A } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } D ^ { \prime } + D ^ { \prime } A ^ { \prime } } = \frac { 4 } { 7 }$，$\because$ 四边形 $A B C D$ 的周长为 $A B + B C + C D + A D = 24 \mathrm { cm }$，$\therefore \frac { 24 } { A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } D ^ { \prime } + D ^ { \prime } A ^ { \prime } } = \frac { 4 } { 7 }$，$\therefore A ^ { \prime } B ^ { \prime } + B ^ { \prime } C ^ { \prime } + C ^ { \prime } D ^ { \prime } + A ^ { \prime } D ^ { \prime } = 42 \mathrm { cm }$，$\therefore$ 四边形 $A ^ { \prime } B ^ { \prime } C ^ { \prime } D ^ { \prime }$ 的周长为 $42 \mathrm { cm }$.

4 一题多解 [2025 济南历下区期中] 若$\frac {n}{m}= \frac {3}{4}(m≠0)$,则$\frac {n+m}{m}=$$\frac { 7 } { 4 }$.

答案： $\frac { 7 } { 4 }$ 解法一 $\because \frac { n } { m } = \frac { 3 } { 4 } ( m \neq 0 )$，$\therefore \frac { n + m } { m } = \frac { 3 + 4 } { 4 } = \frac { 7 } { 4 }$.
解法二 $\because \frac { n } { m } = \frac { 3 } { 4 } ( m \neq 0 )$，$\therefore$ 设 $n = 3 k$，$m = 4 k$，$\therefore \frac { n + m } { m } = \frac { 3 k + 4 k } { 4 k } = \frac { 7 k } { 4 k } = \frac { 7 } { 4 }$.

变式 一题多解 [2025 上海虹口区月考] 已知$\frac {x+y}{y}= \frac {7}{2}$,那么$\frac {x}{x-y}$的值是____$\frac { 5 } { 3 }$.

答案： $\frac { 5 } { 3 }$ 解法一 $\because \frac { x + y } { y } = \frac { 7 } { 2 }$，$\therefore 2 ( x + y ) = 7 y$，即 $2 x + 2 y = 7 y$，$\therefore 5 y = 2 x$，即 $x : y = 5 : 2$，设 $x = 5 k$，则 $y = 2 k$，$\therefore \frac { x } { x - y } = \frac { 5 k } { 5 k - 2 k } = \frac { 5 } { 3 }$.
解法二 $\because \frac { x + y } { y } = \frac { 7 } { 2 }$，$\therefore \frac { x } { y } + 1 = \frac { 7 } { 2 }$，$\therefore \frac { x } { y } = \frac { 5 } { 2 }$，$\therefore x = \frac { 5 } { 2 } y$，$\therefore \frac { x } { x - y } = \frac { \frac { 5 } { 2 } y } { \frac { 5 } { 2 } y - y } = \frac { 5 } { 3 }$.

5 [2024 无锡惠山区段考] 若四条不相等的线段$a,b,c,d满足\frac {a}{b}= \frac {c}{d}$,则下列式子中,成立的是 (D)
A.$\frac {b}{a}= \frac {c}{d}$
B.$\frac {a}{b}= \frac {c+m}{d+m}(m＞0)$
C.$\frac {a-b}{b}= \frac {d-c}{d}$
D.$\frac {a+c}{b+d}= \frac {c}{d}$

答案： D A 项，$\frac { b } { a } = \frac { d } { c }$，所以 A 项中的式子不成立；B 项，$\frac { c + m } { d + m } - \frac { c } { d } = \frac { c d + m d - c d - c m } { d ( d + m ) } = \frac { m ( d - c ) } { d ( d + m ) }$，因为 $m ＞ 0$，$d \neq c$，所以 $\frac { c + m } { d + m } \neq \frac { c } { d }$，所以 B 项中的式子不成立；C 项，$\frac { a - b } { b } = \frac { c - d } { d }$，所以 C 项中的式子不成立.

6 一题多解 已知$a:b:c= 3:4:5$,求$\frac {2a-3b+c}{2a+3b-c}$的值.

答案： 解：解法一 设 $a = 3 k ( k \neq 0 )$，$\because a : b : c = 3 : 4 : 5$，$\therefore b = 4 k$，$c = 5 k$，$\therefore \frac { 2 a - 3 b + c } { 2 a + 3 b - c } = \frac { 6 k - 12 k + 5 k } { 6 k + 12 k - 5 k } = \frac { - k } { 13 k } = - \frac { 1 } { 13 }$.
解法二 $\because a : b : c = 3 : 4 : 5$，$\therefore a = \frac { 3 } { 4 } b$，$c = \frac { 5 } { 4 } b$，$\therefore \frac { 2 a - 3 b + c } { 2 a + 3 b - c } = \frac { 2 \times \frac { 3 } { 4 } b - 3 b + \frac { 5 } { 4 } b } { 2 \times \frac { 3 } { 4 } b + 3 b - \frac { 5 } { 4 } b } = \frac { - \frac { 1 } { 4 } b } { \frac { 13 } { 4 } b } = - \frac { 1 } { 13 }$.
解法三 $a : b : c = 3 : 4 : 5$，即 $\frac { a } { 3 } = \frac { b } { 4 } = \frac { c } { 5 }$，$\therefore \frac { 2 a } { 2 \times 3 } = \frac { 3 b } { 3 \times 4 } = \frac { - 3 b } { - 3 \times 4 } = \frac { c } { 5 } = \frac { - c } { - 5 }$，$\therefore \frac { 2 a - 3 b + c } { 2 \times 3 - 3 \times 4 + 5 } = \frac { 2 a + 3 b - c } { 2 \times 3 + 3 \times 4 - 5 }$，即 $\frac { 2 a - 3 b + c } { - 1 } = \frac { 2 a + 3 b - c } { 13 }$，$\therefore \frac { 2 a - 3 b + c } { 2 a + 3 b - c } = - \frac { 1 } { 13 }$.

7 易错题 若$\frac {b+c}{a}= \frac {a+c}{b}= \frac {a+b}{c}= t$,求$t^{2}-2t-1$的值.
- 1 或 2

答案： 解：①当 $a + b + c \neq 0$ 时，$\frac { b + c } { a } = \frac { a + c } { b } = \frac { a + b } { c } = \frac { 2 ( a + b + c ) } { a + b + c } = 2 = t$，$\therefore t ^ { 2 } - 2 t - 1 = 2 ^ { 2 } - 2 \times 2 - 1 = - 1$.
②当 $a + b + c = 0$ 时，$a = - ( b + c )$，$\therefore \frac { b + c } { a } = \frac { b + c } { - ( b + c ) } = - 1 = t$，$\therefore t ^ { 2 } - 2 t - 1 = ( - 1 ) ^ { 2 } - 2 \times ( - 1 ) - 1 = 2$.
综上所述，$t ^ { 2 } - 2 t - 1$ 的值为 $- 1$ 或 $2$.
易错分析
运用等比性质的前提是各个分母的和不能等于零.如果题目中没有此条件，在运用等比性质时应分类讨论，否则将会出现漏解的错误. 如本题要分 $a + b + c \neq 0$ 和 $a + b + c = 0$ 两种情况讨论.

8 教材 P80 例 2 变式 设$a,b,c是\triangle ABC$的三条边长,且$\frac {a-b}{b}= \frac {b-c}{c}= \frac {c-a}{a}$,判断$\triangle ABC$的形状,并说明理由.
解：$\triangle A B C$ 为等边三角形. 理由如下：
因为 $a + b + c \neq 0$，所以由比例的性质可得，$\frac { a - b } { b } = \frac { b - c } { c } = \frac { c - a } { a } = \frac { ( a - b ) + ( b - c ) + ( c - a ) } { a + b + c } = 0$，所以 $a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$，所以 $a = b = c$，故 $\triangle A B C$ 为等边三角形.

答案： 解：$\triangle A B C$ 为等边三角形. 理由如下：
因为 $a + b + c \neq 0$，所以由比例的性质可得，$\frac { a - b } { b } = \frac { b - c } { c } = \frac { c - a } { a } = \frac { ( a - b ) + ( b - c ) + ( c - a ) } { a + b + c } = 0$，所以 $a - b = 0$，$b - c = 0$，$c - a = 0$，所以 $a = b = c$，故 $\triangle A B C$ 为等边三角形.