《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 解下列方程：
(1)$(x+3)^{2}= 2x+6;$
解：原方程可变形为$(x + 3)^2 - 2(x + 3) = 0$，
因式分解，得$(x + 3)(x + 3 - 2) = 0$，即$(x + 3)(x + 1) = 0$，
所以$x + 3 = 0$或$x + 1 = 0$，
所以$x_1=$-3，$x_2=$-1。
(2)$3x(x-1)= 4(x-1).$
解：移项，得$3x(x - 1) - 4(x - 1) = 0$，
因式分解，得$(x - 1)(3x - 4) = 0$，
所以$x - 1 = 0$或$3x - 4 = 0$，
所以$x_1=$1，$x_2=$$\frac{4}{3}$。
易错分析
求解这类题时，移项后常采取提取公因式的方法求解，切勿采取将方程的两边同时除以含有未知数的同一个因式的方法。

答案： 解：
(1)原方程可变形为$(x + 3)^2 - 2(x + 3) = 0$，
因式分解，得$(x + 3)(x + 3 - 2) = 0$，即$(x + 3)(x + 1) = 0$，
所以$x + 3 = 0$或$x + 1 = 0$，
所以$x_1 = -3$，$x_2 = -1$。
(2)移项，得$3x(x - 1) - 4(x - 1) = 0$，
因式分解，得$(x - 1)(3x - 4) = 0$，
所以$x - 1 = 0$或$3x - 4 = 0$，
所以$x_1 = 1$，$x_2 = \frac{4}{3}$。
易错分析
求解这类题时，移项后常采取提取公因式的方法求解，切勿采取将方程的两边同时除以含有未知数的同一个因式的方法。

2 小明在解方程$x^{2}-4x= 2$时出现了错误,解答过程如下：
$\because a= 1,b= -4,c= -2$,(第一步)
$\therefore b^{2}-4ac= (-4)^{2}-4×1×(-2)= 24＞0$,(第二步)
$\therefore x= \frac {-4\pm \sqrt {24}}{2}$,(第三步)
$\therefore x_{1}= -2+\sqrt {6},x_{2}= -2-\sqrt {6}$.(第四步)
(1)小明解答过程开始出错的步骤是第三步；
(2)写出此题正确的解答过程.
解：将方程化为一般形式，得$x^2 - 4x - 2 = 0$，
$\because a = 1$，$b = -4$，$c = -2$，
$\therefore b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-2) = 24 ＞ 0$，
$\therefore x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}$，
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = 2 - \sqrt{6}$。

答案： 解：
(1)三
(2)将方程化为一般形式，得$x^2 - 4x - 2 = 0$，
$\because a = 1$，$b = -4$，$c = -2$，
$\therefore b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4×1×(-2) = 24 ＞ 0$，
疑难集训
$\therefore x = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2}$，
$\therefore x_1 = 2 + \sqrt{6}$，$x_2 = 2 - \sqrt{6}$。

3 [2024 枣庄台儿庄区月考]已知关于x的一元二次方程$(a-1)x^{2}-2x+a^{2}-1= 0有一个根为x= 0$,则a的值为 (D)
A.0
B. ±1
C.1
D. -1

答案： D $\because$关于$x$的一元二次方程$(a - 1)x^2 - 2x + a^2 - 1 = 0$有一个根为$x = 0$，$\therefore a^2 - 1 = 0$，$a - 1 \neq 0$，$\therefore a = -1$。

4 关于x的方程$(a-6)x^{2}-2x+6= 0$有实数根,求整数a的最大值.

答案： 解：当$a - 6 = 0$，即$a = 6$时，
原方程为$-2x + 6 = 0$，解得$x = 3$，
$\therefore a = 6$符合题意；
当$a - 6 \neq 0$，即$a \neq 6$时，原方程为一元二次方程，
根据题意，得$\Delta = (-2)^2 - 4×6×(a - 6) \geq 0$，
$\therefore a \leq \frac{37}{6}$且$a \neq 6$。
综上所述，$a \leq \frac{37}{6}$，
$\therefore$整数$a$的最大值为$6$。
易错分析
题目中说的是关于$x$的方程，并没有说关于$x$的一元二次方程，所以解题时要分一元一次方程和一元二次方程两种情况。这是题目的隐含条件，一般很容易被忽略，所以一定要仔细审题，并将各种情况考虑到位。

5 [2024 南京江宁区月考]下列方程中,满足两实数根的和等于3的方程是 (D)
A.$x^{2}-5x+3= 0$
B.$x^{2}+3x+1= 0$
C.$x^{2}-3x+4= 0$
D.$x^{2}-3x-4= 0$

答案： D 对于C项：$\Delta = (-3)^2 - 4×1×4 = -7 ＜ 0$，方程没有实数根，不符合题意。

6 [2024 黄石调研]已知关于x的方程$x^{2}-(2m-1)x+m^{2}= 0的两实数根为x_{1},x_{2}$,若$(x_{1}+1)(x_{2}+1)= 3$,则m的值为 (-3)
A. -3
B. -1
C. -3或1
D. -1或3

答案： A $\because$方程$x^2 - (2m - 1)x + m^2 = 0$的两实数根为$x_1$，$x_2$，
$\therefore \Delta = [-(2m - 1)]^2 - 4m^2 \geq 0$，$x_1 + x_2 = 2m - 1$，$x_1x_2 = m^2$，
$\therefore m \leq \frac{1}{4}$。$\because (x_1 + 1)(x_2 + 1) = x_1x_2 + x_1 + x_2 + 1 = 3$，$\therefore m^2 +$
$2m - 1 + 1 = 3$，解得$m = 1$（舍去）或$m = -3$。

7 [2024 西安曲江一中月考]已知关于x的一元二次方程$x^{2}+2mx+m^{2}-m= 0的两实数根为x_{1},x_{2}$,且满足$x_{1}x_{2}= 2$,则$x_{1}+x_{2}$的值为 (-4)
A.4
B. -4
C.4或-2
D. -4或2

答案： 根据题意，得$x_1x_2 = m^2 - m = 2$，解得$m = 2$或$-1$，$\because \Delta = 4m^2 - 4(m^2 - m) = 4m \geq 0$，$\therefore m \geq 0$，$\therefore m = 2$，$\therefore x_1 + x_2 = -2m = -4$。