《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024 西藏中考]如图,在$Rt△ABC$中,$∠C= 90^{\circ },AC= 12,BC= 5$,点 P 是边 AB 上任意一点,过点 P 作$PD⊥AC,PE⊥BC$,垂足分别为点 D,E,连接 DE,则 DE 的最小值是 ( )

A.$\frac {13}{2}$
B.$\frac {60}{13}$
C.$\frac {12}{5}$
D.$\frac {30}{13}$

答案：
B 如图，连接CP，作CQ⊥AB于点Q，
∵∠ACB=90°，AC=12，BC=5，
∴AB=
$\sqrt {AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt {12^{2}+5^{2}}=13$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac {1}{2}\times$
13×CQ=$\frac {1}{2}\times 12\times 5$，
∴CQ=$\frac {60}{13}$，
∵PD⊥AC，
PE⊥BC，垂足分别为点D，E，
∴∠PDC=∠PEC=∠DCE=
90°，
∴四边形PECD是矩形，
∴CP=DE，
∵CP≥CQ，
∴DE≥
$\frac {60}{13}$，
∴DE的最小值为$\frac {60}{13}$。

2 如图,在$□ ABCD$的纸片中,$AB⊥AC$,将$△ABC$沿对角线 AC 翻折,得到$△AB'C,B'C$与 AD 交于点 E,连接$B'D$.
(1)求证:四边形$ACDB'$为矩形.
(2)若四边形 ABCD 的面积为$12cm^{2}$,则翻折后纸片重叠部分$△ACE$的面积为____.

答案：
解题思路：
(1)
四边形ABCD是平行四边形→AB//CD，AB=CD
△ABC翻折得到△AB'C，AB⊥AC→B，A，B'三点共线，AB=AB'
→AB'//CD，AB'=CD
→□ACDB'是矩形→四边形ACDB'为平行四边形
→AD=B'C
(2)
四边形ACDB'是矩形→AE=DE→$S_{\triangle ACE}=\frac {1}{2}S_{\triangle ACD}$
(1)证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD。
∵△AB'C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，
∴AB=AB'，点A，B，B'在同一条直线上，
∴AB'//CD，AB'=CD，
∴四边形ACDB'是平行四边形。
又
∵B'C=BC=AD，
∴四边形ACDB'是矩形。
(2)3cm²
由四边形ACDB'是矩形，得AE=DE。
∵$S_{//ogram ABCD}=12cm^{2}$，
∴$S_{\triangle ACD}=6cm^{2}$，
∴$S_{\triangle AEC}=\frac {1}{2}S_{\triangle ACD}=3cm^{2}$。

(1)求证:四边形 ADCE 是矩形.
证明：∵AB=AC，D 是 BC 的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°。
∵CE//AD，∴∠ECD=∠ADB=90°。
∵AE⊥AD，∴∠EAD=90°，
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°，
∴四边形 ADCE 是矩形。
(2)若BC= 4,CE= 3,求 EF 的长.
解：∵AB=AC，D是BC的中点，BC=4，
∴BD=CD=$\frac {1}{2}BC=2$。
由(1)可知，四边形ADCE是矩形，
∴AE=CD=2，∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，AE=2，CE=3。
∴AC=$\sqrt {AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt {2^{2}+3^{2}}=\sqrt {13}$。
∵EF⊥AC，∴$S_{\triangle AEC}=\frac {1}{2}AC\cdot EF=\frac {1}{2}AE\cdot CE$，
∴EF=$\frac {AE\cdot CE}{AC}=\frac {2× 3}{\sqrt {13}}=$$\frac {6\sqrt {13}}{13}$。

答案：
(1)证明：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADC=∠ADB=90°。
∵CE//AD，
∴∠ECD=∠ADB=90°。
∵AE⊥AD，
∴∠EAD=90°，
∴∠ADC=∠ECD=∠EAD=90°，
∴四边形ADCE是矩形。
(2)解：
∵AB=AC，D是BC的中点，BC=4，
∴BD=CD=$\frac {1}{2}BC=2$。
由
(1)可知，四边形ADCE是矩形，
∴AE=CD=2，∠AEC=90°。
在Rt△AEC中，AE=2，CE=3。
∴AC=$\sqrt {AE^{2}+CE^{2}}=\sqrt {2^{2}+3^{2}}=\sqrt {13}$。
∵EF⊥AC，
∴$S_{\triangle AEC}=\frac {1}{2}AC\cdot EF=\frac {1}{2}AE\cdot CE$，
∴EF=$\frac {AE\cdot CE}{AC}=\frac {2\times 3}{\sqrt {13}}=\frac {6\sqrt {13}}{13}$。

4 [2025 深圳红岭教育集团期中]如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,延长 CB 到点 E,使得$BE= BC$.连接 AE,过点 B 作$BF// AC$,交 AE 于点 F,连接 OF.
(1)求证:四边形 AFBO 是矩形.
(2)若$∠E= 30^{\circ },OF= 2$,求菱形 ABCD 的面积.$2\sqrt{3}$

答案： 解题思路：
(1)先证四边形AEBD是平行四边形，再证
∠AOB=90°，即可得出结论。
(2)由矩形的性质得∠AFB=
90°，OF=AB=2，则∠BFE=∠FBO=90°。由∠E=∠BOF=
30°，可得BF=1，由直角三角形性质得BE=2BF=2。在
Rt△AEC中，BE=BC，由直角三角形性质得AB=BE=BC=
2，得到△ABC为等边三角形，即可求出菱形ABCD的面积。
(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AC⊥BD，AD=BC，
∵BE=BC，
∴AD=BE，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∴AE//BD。
∵BF//AC，
∴四边形AFBO是平行四边形。
∵AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∴平行四边形AFBO是矩形。
(2)解：由
(1)知四边形AFBO是矩形，
∴∠AFB=90°，OF=AB，
∴∠BFE=∠FBO=90°。
又
∵∠E=∠BOF=30°，OF=2，
∴BF=1，
∴BE=2BF=2。
在Rt△AEC中，BE=BC，
∴AB=BE=BC=2，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=2，AO=$\frac {1}{2}AC=1$，OB=$\sqrt {AB^{2}-AO^{2}}=\sqrt {3}$，
∴$S_{菱形ABCD}=2S_{\triangle ABC}=2\times \frac {1}{2}\times 2\times \sqrt {3}=2\sqrt {3}$。