《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2025枣庄山亭区期中]如图,在△ABC中,点F是BC的中点,点E是线段AB延长线上一动点,连接EF,过点C作AB的平行线CD,与线段EF的延长线交于点D,连接CE,BD.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形.
(2)若∠ABC= 120°,AB= BC= 4,则在点E的运动过程中:
①当BE= ______2______时,四边形BECD是矩形;
②当BE= ______4______时,四边形BECD是菱形.

答案：
(1)证明：
∵ $AB // CD$，
∴ $∠CDF = ∠FEB$，$∠DCF = ∠EBF$，
∵ 点 $F$ 是 $BC$ 的中点，
∴ $BF = CF$，
在 $△DCF$ 和 $△EBF$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠CDF = ∠BEF,\\ ∠DCF = ∠EBF,\\ FC = FB,\end{array}\right.$
∴ $△DCF \cong △EBF(AAS)$，
∴ $DC = EB$，
又
∵ $DC // AB$，
∴ 四边形 $BECD$ 是平行四边形。
(2)①2
要使四边形 $BECD$ 是矩形，则 $∠CEB = 90^{\circ}$，
∵ $∠ABC = 120^{\circ}$，
∴ $∠CBE = 60^{\circ}$，
∴ $∠ECB = 30^{\circ}$，
∴ $BE = \frac{1}{2}BC = 2$。
②4
要使四边形 $BECD$ 是菱形，则 $BE = CE$，
∵ $∠ABC = 120^{\circ}$，
∴ $∠CBE = 60^{\circ}$，
∴ $△CBE$ 是等边三角形，
∴ $BE = BC = 4$。

2 [2025沈阳大东区期中](1)【思考尝试】数学活动课上,老师出示了一个问题:如图1,在正方形ABCD中,E是BC的中点,AE⊥EP,EP与正方形的外角∠DCF的平分线交于P点.猜想AE与EP的数量关系,并加以证明.同学们发现,取AB的中点G,连接EG可以解决这个问题.请在图1中补全图形,解答老师提出的问题.
(2)【实践探究】和谐小组受此问题启发,逆向思考这个题目,并提出新的问题:如图2,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点

E,B不重合),△AEP是等腰直角三角形,∠AEP= 90°,连接CP,可以求出∠DCP的大小,请你思考并解答这个问题.
(3)【拓展迁移】辉煌小组深入研究和谐小组提出的这个问题,发现并提出新的探究点:如图3,在正方形ABCD中,E为BC边上一动点(点E,B不重合),△AEP是等腰直角三角形,∠AEP= 90°,连接DP.知道正方形的边长时,可以求出△ADP周长的最小值.当AB= 1时,请直接写出△ADP周长的最小值.

答案：
解：
(1)$AE = EP$。证明如下：
如图 1，$G$ 为 $AB$ 的中点，$E$ 为 $BC$ 的中点，四边形 $ABCD$ 为正方形，则 $∠BCD = ∠B = 90^{\circ}$，$AB = BC$，$BG = AG = BE = EC = \frac{1}{2}BC$，
∴ $△BGE$ 为等腰直角三角形，
∴ $∠BGE = 45^{\circ}$，
∴ $∠AGE = 180^{\circ} - ∠BGE = 135^{\circ}$。
∵ $CP$ 为 $∠DCF$ 的平分线，
∴ $∠PCF = 45^{\circ}$，
∴ $∠ECP = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$，
∴ $∠AGE = ∠ECP$。
∵ $∠GAE = 90^{\circ} - ∠AEB$，$∠CEP = 180^{\circ} - ∠AEP - ∠AEB = 90^{\circ} - ∠AEB$，
∴ $∠EAG = ∠CEP$。
动点问题
在 $△AGE$ 和 $△ECP$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠AGE = ∠ECP,\\ AG = EC,\\ ∠EAG = ∠CEP,\end{array}\right.$
∴ $△AGE \cong △ECP(ASA)$，
∴ $AE = EP$。
　　　
(2)如图 2，过点 $P$ 作 $PG ⊥ BC$ 与 $BC$ 的延长线交于点 $G$。
∵ $△AEP$ 是等腰直角三角形，$∠AEP = 90^{\circ}$，
∴ $AE = EP$，$∠AEB + ∠PEG = 90^{\circ}$。
∵ $∠AEB + ∠EAB = 90^{\circ}$，
∴ $∠EAB = ∠PEG$。
在 $△EAB$ 和 $△PEG$ 中，$\left\{\begin{array}{l} ∠EAB = ∠PEG,\\ ∠ABE = ∠EGP,\\ AE = EP,\end{array}\right.$
∴ $△EAB \cong △PEG(AAS)$，
∴ $PG = EB$，$EG = AB = BC$，
∵ $BE + EC = BC$，$EC + CG = EG$，
∴ $CG = BE = PG$，
∴ $△PGC$ 为等腰直角三角形，
∴ $∠PCG = 45^{\circ}$，
∴ $∠DCP = 90^{\circ} - ∠PCG = 45^{\circ}$。
　　　
(3)$△ADP$ 周长的最小值为 $1 + \sqrt{5}$。
如图 3，连接 $CP$，由
(2)可知 $∠DCP = 45^{\circ}$，
过点 $D$ 作 $CP$ 的垂线，交 $CP$ 所在直线于点 $O$，交 $BC$ 的延长线于点 $Q$，连接 $PQ$，$AQ$。
易得 $△DCQ$，$△DCO$ 和 $△COQ$ 都是等腰直角三角形。
∴ $CP$ 是 $DQ$ 的垂直平分线，$D$，$Q$ 两点关于 $CP$ 对称，$DP = QP$。
∴ $DP + AP = PQ + AP ≥ AQ$。
在 $Rt△ABQ$ 中，$AB = 1$，$BQ = BC + CQ = 2AB = 2$，
∴ $AQ = \sqrt{AB^{2} + BQ^{2}} = \sqrt{5}$。
∴ $△ADP$ 周长的最小值为 $AD + AQ = AB + AQ = 1 + \sqrt{5}$。