《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024济宁中考]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE.若OE= 3,则菱形的边长为(6)

A.6
B.8
C.10
D.12

答案： A
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD,
∴△AOB是直角三角形.
∵E是AB的中点，
∴OE = $\frac{1}{2}$AB.
∵OE = 3,
∴AB = 6,即菱形的边长为6.

2 [2024泸州中考]已知四边形ABCD是平行四边形,下列条件中,不能判定□ABCD为矩形的是(D)
A.$∠A= 90^{\circ }$
B.$∠B= ∠C$
C.AC= BD
D.AC⊥BD

答案： D
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当∠A = 90°时,平行四边形ABCD是矩形，故A项可以判定▱ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD,
∴∠B + ∠C = 180°,当∠B = ∠C时,可得∠B = ∠C = 90°,此时▱ABCD为矩形，故B项可以判定▱ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形，当AC = BD时，平行四边形ABCD是矩形，故C项可以判定▱ABCD为矩形;
∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，平行四边形ABCD是菱形，故D项不能判定▱ABCD为矩形.

3 [新考法][2024甘肃中考]如图1,动点P从菱形ABCD的点A出发,沿边AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,PO的长为y,y与x的函数图象如图2所示,当点P运动到BC中点时,PO的长为($\sqrt{5}$)


A.2
B.3
C.$\sqrt {5}$
D.$2\sqrt {2}$

答案： C 结合题中图象,可得当x = 0时,PO = AO = 4,当点P运动到点B时,PO = BO = 2.在菱形ABCD中,AC⊥BD,
∴∠AOB = ∠BOC = 90°,
∴AB = BC = $\sqrt{OA^2 + OB^2}$ = 2$\sqrt{5}$,当点P运动到BC中点时,PO的长为$\frac{1}{2}$BC = $\sqrt{5}$.

4 [2024东营中考]如图,四边形ABCD是矩形,直线EF分别交AD,BC,BD于点E,F,O,下列条件中,不能证明$△BOF\cong △DOE$的是(D)

A.O为矩形ABCD两条对角线的交点
B.EO= FO
C.AE= CF
D.EF⊥BD

答案： D
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC,AD//BC,
∴∠OBF = ∠ODE,∠OFB = ∠OED.对于A项,
∵O为矩形ABCD两条对角线的交点,
∴OB = OD,在△BOF和△DOE中,$\begin{cases} \angle OFB = \angle OED, \\ \angle OBF = \angle ODE, \\ OB = OD, \end{cases}$
∴△BOF≌△DOE(AAS),故A项不符合题意;对于B项，在△BOF和△DOE中,$\begin{cases} \angle OBF = \angle ODE, \\ \angle OFB = \angle OED, \\ FO = EO, \end{cases}$
∴△BOF≌△DOE(AAS),故B项不符合题意;对于C项，
∵AE = CF,
∴BC - CF = AD - AE,即BF = DE,在△BOF和△DOE中,$\begin{cases} \angle OBF = \angle ODE, \\ BF = DE, \\ \angle OFB = \angle OED, \end{cases}$
∴△BOF≌△DOE(ASA),故C项不符合题意;对于D项,
∵EF⊥BD,
∴∠BOF = ∠DOE = 90°,不能判定△BOF≌△DOE,故D项符合题意.

5 [2024重庆中考B卷]如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分$∠EAF$交CD于点M.若BE= DF= 1,则DM的长度为($\frac{12}{5}$)

A.2
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {6}$
D.$\frac {12}{5}$

答案： D
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD,∠ABE = ∠ADF = 90°.在Rt△ABE和Rt△ADF中,$\begin{cases} AB = AD, \\ \angle ABE = \angle ADF, \\ BE = DF, \end{cases}$
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(SAS),
∴AE = AF.
∵AM平分∠EAF,
∴∠EAM = ∠FAM.在△AEM和△AFM中,$\begin{cases} AE = AF, \\ \angle EAM = \angle FAM, \\ AM = AM, \end{cases}$
∴△AEM≌△AFM(SAS),
∴EM = FM.
∵四边形ABCD是正方形,
∴BC = CD = 4,∠BCD = 90°.设DM = x,则MC = CD - DM = 4 - x,CE = BC - BE = 4 - 1 = 3,EM = FM = FD + DM = 1 + x,在Rt△MCE中,EM² = MC² + CE²,即(1 + x)² = (4 - x)² + 3²,解得x = $\frac{12}{5}$.

6 [2024吉林中考]如图,正方形ABCD的对角线

AC,BD相交于点O,点E是OA的中点,点F是OD上一点,连接EF.若$∠FEO= 45^{\circ }$,则$\frac {EF}{BC}$的值为$\frac{1}{2}$.

答案： $\frac{1}{2}$
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC = ∠DAC = 45°,AD = BC.
∵∠FEO = 45°,
∴∠FEO = ∠DAC,
∴EF//AD.
∵点E是OA的中点，
∴点F是OD的中点，
∴EF是△AOD的中位线,
∴EF = $\frac{1}{2}$AD,
∴EF = $\frac{1}{2}$BC,即$\frac{EF}{BC}$ = $\frac{1}{2}$.

7 [2024潍坊中考]如图,在矩形ABCD中,AB＞2AD,点E,F分别在边AB,CD上.将$△ADF$沿AF折叠,点D的对应点G恰好落在对角线AC上；将$△CBE$沿CE折叠,点B的对应点H恰好也落在对角线AC上.连接GE,FH.
求证：(1)$△AEH\cong △CFG$；
(2)四边形EGFH为平行四边形.

证明:(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC,∠B = ∠D = 90°,AB//CD,∴∠EAH = ∠FCG;由折叠得AG = AD,CH = CB,∠CHE = ∠B = 90°,∠AGF = ∠D = 90°,∴CH = AG,∠AHE = ∠CGF = 90°,∴AH = CG.
在△AEH和△CFG中,$\begin{cases} \angle EAH = \angle FCG, \\ AH = CG, \\ \angle AHE = \angle CGF, \end{cases}$
∴△AEH≌△CFG(ASA).
(2)由(1)知∠AHE = ∠CGF = 90°,△AEH≌△CFG,
∴EH//FG,EH = FG,
∴四边形EGFH为平行四边形.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD = BC,∠B = ∠D = 90°,AB//CD,
∴∠EAH = ∠FCG;由折叠得AG = AD,CH = CB,∠CHE = ∠B = 90°,∠AGF = ∠D = 90°,
∴CH = AG,∠AHE = ∠CGF = 90°,
∴AH = CG.
在△AEH和△CFG中,$\begin{cases} \angle EAH = \angle FCG, \\ AH = CG, \\ \angle AHE = \angle CGF, \end{cases}$
∴△AEH≌△CFG(ASA).
(2)由
(1)知∠AHE = ∠CGF = 90°,△AEH≌△CFG,
∴EH//FG,EH = FG,
∴四边形EGFH为平行四边形.

8 [2024徐州中考]已知：如图,四边形ABCD为正方形,点E在BD的延长线上,连接EA,EC.
(1)求证：$△EAB\cong △ECB$.
证明:∵四边形ABCD为正方形，
∴AB = BC,∠ABE = ∠CBE = 45°.
在△EAB和△ECB中,$\begin{cases} AB = CB, \\ \angle ABE = \angle CBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴△EAB≌△ECB(SAS).
(2)若$∠AEC= 45^{\circ }$,求证：DC= DE.
证明:∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠CDA = 45°.
∵△EAB≌△ECB,∠AEC = 45°,
∴∠CED = ∠AED = $\frac{1}{2}$∠AEC = 22.5°.
∵∠BDC = ∠CED + ∠DCE = 45°,
∴∠DCE = 45° - 22.5° = 22.5°,
∴∠CED = ∠DCE,∴DC = DE.

答案： 证明:
(1)
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB = BC,∠ABE = ∠CBE = 45°.
在△EAB和△ECB中,$\begin{cases} AB = CB, \\ \angle ABE = \angle CBE, \\ BE = BE, \end{cases}$
∴△EAB≌△ECB(SAS).
(2)
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BDC = $\frac{1}{2}$∠CDA = 45°.
∵△EAB≌△ECB,∠AEC = 45°,
∴∠CED = ∠AED = $\frac{1}{2}$∠AEC = 22.5°.
∵∠BDC = ∠CED + ∠DCE = 45°,
∴∠DCE = 45° - 22.5° = 22.5°,
∴∠CED = ∠DCE,
∴DC = DE.