《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次,经过统计得“凸面朝上”的频率为0.44,则可由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面朝上”的概率为(0.56)
A. 0.22
B. 0.44
C. 0.50
D. 0.56

答案： D 抛掷同一枚啤酒瓶盖可能出现“凸面朝上”或“凹面朝上”两种可能，随着试验次数的增加，试验频率趋近于理论概率。因为出现“凸面朝上”或“凹面朝上”两种结果的频率之和为1，所以可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面朝上”的概率为0.56。

2 [2025济南月考]某小组做“用频率估计概率”的试验时,统计了某一事件发生的频率,绘制了如图所示的折线图.该事件最有可能是(A)

A. 暗箱中有1个红球和2个黄球,这些球除了颜色外无其他差别,从中任取一球是红球
B. 掷一枚硬币,正面朝上
C. 掷一个质地均匀的正方体骰子,向上一面的点数是2
D. 从一副扑克牌中任意抽取1张,这张牌是“红心”

答案： A
选项 分析 结论
A 任取一球是红球的概率是$\frac{1}{3}$ 符合折线图
B 正面朝上的概率为$\frac{1}{2}$ 不符合折线图
C 向上一面的点数是2的概率为$\frac{1}{6}$ 不符合折线图
D 这张牌是“红心”的概率是$\frac{13}{54}$ 不符合折线图

在一个不透明的口袋中装有红球和白球共12个,这些球除颜色外都相同,将口袋中的球搅匀后,从中随机摸出1个球,记下它的颜色后再放回口袋中,不断重复这一过程,共摸球200次,发现有50次摸到红球,则口袋中红球约有3个.

答案： 摸球200次，有50次摸到红球，则摸到红球的频率为$\frac{50}{200}=0.25$，可估计摸到红球的概率为0.25，所以口袋中红球约有$12×0.25 = 3$（个）。

4 将“一遍过官微”的二维码打印在面积为$900cm^2$的正方形纸上,如图所示,为了估计图中黑色部分的面积,在纸内随机掷点,经过大量重复试验,发现点落入黑色部分的频率稳定在0.6左右,据此可以估计黑色部分的面积为$540cm^2.$

答案： 估计题图中黑色部分的面积为$900×0.6 = 540(cm^{2})$。

5 [2025西双版纳州景洪五中期中]小颖和小红两位同学在学习“概率”时,做掷骰子(质地均匀的正方体)试验.
(1)她们在一次试验中共掷骰子60次,试验的结果如下：

①此次试验中“5点朝上”的频率为______$\frac{1}{3}$.
②小红说：“根据试验得,出现5点朝上的概率最大.”她的说法正确吗？为什么？
小红的说法不正确。理由如下：在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大。原因是本次的试验次数不大，且当试验的次数较大时，频率接近概率，但并不完全等于概率。
(2)小颖和小红在试验中如果各掷一枚骰子,那么两枚骰子朝上的点数之和为多少时的概率最大？试用列表或画树状图的方法加以说明,并求出其最大概率.
列表如下：
小红
和 1 2 3 4 5 6
小颖
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表格可知，共有36种等可能的结果，其中点数之和为7的结果最多，有6种，所以两枚骰子朝上的点数之和为7时，概率最大，最大概率$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。

答案： 解：
(1)①此次试验中“5点朝上”的频率为$20÷60=\frac{1}{3}$。
②小红的说法不正确。理由如下：
在这次试验中，“5点朝上”的频率最大并不能说明“5点朝上”这一事件发生的概率最大。原因是本次的试验次数不大，且当试验的次数较大时，频率接近概率，但并不完全等于概率。
(2)列表如下：
小红
和 1 2 3 4 5 6
小颖
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
由表格可知，共有36种等可能的结果，其中点数之和为7的结果最多，有6种，所以两枚骰子朝上的点数之和为7时，概率最大，最大概率$P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$。
解题通法
用频率估计概率的“三步法”
(1)判断：先判断某个试验的结果数是不是有限或各种可能的结果是不是等可能的。
(2)试验：进行大量重复试验直至某事件发生的频率在某一数值附近波动。
(3)估计：用上述稳定值估计该事件发生的概率。