《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 如图,已知四边形ABCD是边长为6的菱形,且∠BAD= 120°,点E,F分别在AB,BC边上,将菱形沿EF折叠,使点B正好落在AD边上的点G处。若EG⊥AC,则FG的长为( )


A. 3√6
B. 6
C. 3√3
D. 3√2

答案：
专项1
1 C 如图，设AC与EG交于点O，FG与AC交于点H。
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，
∴∠B=60°，∠CAD=60°。
∵EG⊥AC，
∴∠GOH=90°。由折叠可得∠EGF=∠B=60°，
∴∠OHG=30°，
∴∠AGH=90°，
∴FG⊥AD。过点A作AM⊥BC于点M，则AM=FG。
∵AB=6，∠B=60°，
∴∠BAM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AM=$\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3\sqrt{3}$，
∴FG=3$\sqrt{3}$。

2 [2024济宁期末]如图,在菱形纸片ABCD中,∠A= 60°,折叠菱形纸片ABCD,使点C落在DP(点P为AB的中点)所在的直线上,得到经过点D的折痕DE。则∠BEC'的大小为______。

答案：
专项1
2 30° 如图，连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°。由折叠可得∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC'，在△DEC中，∠DEC=180°-(∠CDE+∠C)=75°，
∴∠BEC'=180°-∠DEC-∠DEC'=30°。

3 [2025西安期中]如图,在菱形ABCD中,AD= 4,∠B= 60°,E为AD的中点,点F在边CD上,连接EF,将△DEF沿EF翻折,使得点D落在点D'处,连接CD',则CD'的最小值是______。

答案：
专项1
3 2$\sqrt{3}$-2 如图，连接AC，CE，
∵四边形ABCD是菱形，AD=4，∠B=60°，
∴CD=AD=4，∠D=∠B=60°，
∴△ACD是等边三角形，
∵点E为AD的中点，
∴DE=AE=$\frac{1}{2}$AD=2，CE⊥AD，
∴∠CED=90°，

∴CE=$\sqrt{CD^{2}-DE^{2}}=\sqrt{4^{2}-2^{2}}=2\sqrt{3}$。由翻折得D'E=DE=2。
∵CD'+D'E≥CE，
∴CD'+2≥2$\sqrt{3}$，
∴CD'≥2$\sqrt{3}$-2，
∴CD'的最小值为2$\sqrt{3}$-2。

4 [2024枣庄市中区月考]如图,将矩形纸片ABCD沿BE折叠,使点A落在对角线BD上的A'处。若∠DBC= 34°,则∠A'EB等于(D)

A. 28°
B. 34°
C. 56°
D. 62°

答案： 专项1
4 D
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=90°。由折叠可得∠BA'E=∠A=90°，∠A'BE=∠ABE，
∴∠A'BE=∠ABE=$\frac{1}{2}$(90°-∠DBC)=$\frac{1}{2}$×(90°-34°)=28°，
∴∠A'EB=90°-∠A'BE=90°-28°=62°。

5 [2024西安部分学校检测]如图,将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,使得点B落在点E处,CE交AD于点F,若CE平分∠ACD,AF= 2,则CD的长是($\sqrt{3}$)
A. 1.5
B. √3
C. (√3)/2 + 1
D. (√3 + 1)/2

答案： 专项1
5 B
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，AD//BC，
∴∠DAC=∠ACB，由折叠的性质可知，∠ACB=∠ACE，
∴∠CAF=∠ACF，
∴CF=AF=2，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∴∠ACB=∠ACF=∠FCD=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$CF=1，
∴CD=$\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。

6 [2024牡丹江中考]小明同学手中有一张矩形纸片ABCD,AD= 12 cm,CD= 10 cm,他进行了如下操作：
第一步,如图1,将矩形纸片对折,使AD与BC重合,得到折痕MN,将纸片展平。
第二步,如图2,再一次折叠纸片,把△ADN沿AN折叠得到△AD'N,AD'交折痕MN于点E,则线段EN的长为($\frac{169}{24}$cm)


A. 8 cm
B. 169/24 cm
C. 167/24 cm
D. 55/8 cm

答案： 专项1
6 B
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10cm，由折叠得AM=$\frac{1}{2}$AB=5cm，AD=AD'=12cm，MN⊥AB，∠DAN=∠D'AN，
∴四边形AMND是矩形，
∴MN//AD，MN=AD=12cm，
∴∠DAN=∠ANM，
∴∠ANM=∠D'AN，
∴EA=EN。设EA=EN=x cm，则EM=(12-x)cm，在Rt△AME中，AM²+ME²=AE²，即5²+(12-x)²=x²，解得x=$\frac{169}{24}$，即EN=$\frac{169}{24}$cm。

7 [2024河南中考]如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点A的坐标为(-2,0),点E在边CD上。将△BCE沿BE折叠,点C落在点F处。若点F的坐标为(0,6),则点E的坐标为______(3,10)。

答案： 专项1
7 (3,10)
∵四边形ABCD是正方形，边AB在x轴上，
∴AD=AB=CD=CB，AD⊥x轴，CD⊥y轴，由折叠得FB=CB，FE=CE。设CD交y轴于点G，AD=AB=CB=CD=m，则BF=OG=m，
∵A(-2,0)，F(0,6)，
∴OA=GD=2，OF=6，
∴OB=m-2。
∵∠BOF=∠EGF=90°，
∴OB²+OF²=BF²，
∴(m-2)²+6²=m²，解得m=10，
∴AD=OG=CD=10，
∴FG=10-6=4，FE=CE=10-2-GE=8-GE，
∵GE²+FG²=FE²，
∴GE²+4²=(8-GE)²，解得GE=3，
∴E(3,10)。

8 [2024重庆育才中学期中]如图,在正方形ABCD中,点M在CD上,将△ADM沿着AM翻折得到△ANM,连接BN,DN。若∠NDM= 30°,则∠ABN的度数为______。

答案：
专项1
8 75° 如图，设AM与ND相交于点E，由翻折得，∠DAM=∠MAN，AD=AN，AM⊥DN，
∴∠DEM=90°。
∵∠NDM=30°，
∴∠DMA=60°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠CDA=90°，
∴∠DAM=90°-∠DMA=30°，AB=AN，
∴∠MAN=∠DAM=30°，
∴∠BAN=∠BAD-∠DAM-∠MAN=90°-30°-30°=30°。
∵AB=AN，
∴∠ABN=∠ANB=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAN)=$\frac{1}{2}$×(180°-30°)=75°。