《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘A,B,每个转盘被分成3个相同的扇形,游戏规定:小美与小丽分别转动转盘A,B,指针指向的数字较大者获胜.你认为这个规则 (

)
A. 公平
B. 对小美有利
C. 对小丽有利
D. 无法确定对谁有利

答案：
B 画树状图如下:
　　　　　小美
　　　　　　　　
　　　　　小丽
由树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中小美获胜的结果有 5 种，小丽获胜的结果有 4 种，所以小美获胜的概率为$\frac{5}{9}$，小丽获胜的概率为$\frac{4}{9}$，因此这个规则对小美有利。（游戏中，哪一方获胜的概率较大，则规则对哪一方有利；若获胜概率相同，则规则公平）

2 [2024郑州期末]小聪、小明和小亮做“石头、剪刀、布”游戏.游戏规则如下:由小聪和小明做“石头、剪刀、布”的游戏,如果两人的手势相同,那么小亮获胜;如果两人手势不同,那么按照“石头胜剪刀,剪刀胜布,布胜石头”的规则决定小聪和小明中的获胜者.此游戏中,获胜概率最大的是 ( )
A. 小聪
B. 小明
C. 小亮
D. 一样大

答案：
D 画树状图如下:
　　
由树状图可知，共有 9 种等可能的结果，其中小亮获胜的结果有（石头，石头），（剪刀，剪刀），（布，布），共 3 种，小聪获胜的结果有（石头，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），共 3 种，小明获胜的结果有（石头，布），（剪刀，石头），（布，剪刀），共 3 种，所以小亮获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，小聪获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$，小明获胜的概率为$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。所以小亮、小聪、小明获胜的概率相同。

3 [2025佛山外国语学校月考]在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1,2,3,4的四个小球,除数字不同外,小球没有任何区别,每次试验先搅拌均匀.
(1)若从中任取一球,球上的数字为偶数的概率为______$\frac{1}{2}$.
(2)若设计一种游戏方案:从袋中同时任取两球,两个球上的数字之差的绝对值为1则甲胜,否则乙胜.这个游戏方案对双方公平吗?请说明理由.
解：这个游戏方案对双方公平。理由如下：
列表如下：
|结果|第 2 个|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|第 1 个| | | | | |
|1| |1|2|3| |
|2|1| |1|2| |
|3|2|1| |1| |
|4|3|2|1| | |
由表格可知，共有 12 种等可能的结果，其中两个球上的数字之差的绝对值为 1 的结果有 6 种，
所以$P(甲胜)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P(乙胜)=\frac{12 - 6}{12}=\frac{1}{2}$，
因为$P(甲胜)=P(乙胜)$，
所以这个游戏方案对双方公平。

答案： 解：（1）$\frac{1}{2}$
因为球上的数字为偶数的是 2 和 4，所以从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
（2）这个游戏方案对双方公平。理由如下：
列表如下：
|结果|第 2 个|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|第 1 个| | | | | |
|1| |1|2|3| |
|2|1| |1|2| |
|3|2|1| |1| |
|4|3|2|1| | |
由表格可知，共有 12 种等可能的结果，其中两个球上的数字之差的绝对值为 1 的结果有 6 种，
所以$P(甲胜)=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$，$P(乙胜)=\frac{12 - 6}{12}=\frac{1}{2}$，
因为$P(甲胜)=P(乙胜)$，
所以这个游戏方案对双方公平。

4 [2023广州中考]甲、乙两位同学相约打乒乓球.
(1)有款式完全相同的4个乒乓球拍(分别记为A,B,C,D),若甲先从中随机选取1个,乙再从余下的球拍中随机选取1个,求乙选中球拍C的概率.
(2)双方约定:两人各投掷一枚质地均匀的硬币,如果两枚硬币全部正面向上或全部反面向上,那么甲先发球,否则乙先发球.这个约定是否公平?为什么?

答案：
解：（1）画树状图如下:
　　　　
由树状图可知，共有 12 种等可能的结果，其中乙选中球拍 C 的结果有 3 种，
$\therefore P(乙选中球拍 C)=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$。
（2）公平。理由如下：
画树状图如下:
　　　　　　　
由树状图可知，共有 4 种等可能的结果，其中两枚硬币全部正面向上或全部反面向上的结果有 2 种，
$\therefore P(甲先发球)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，$P(乙先发球)=\frac{4 - 2}{4}=\frac{1}{2}$，
$\because P(甲先发球)=P(乙先发球)$，
$\therefore$这个约定公平。
策略点拨
求解游戏公平性问题的关键
（1）判断游戏是否公平，关键是比较每人获胜的概率的大小。（2）对于不公平的游戏，我们应通过修改或重新设计游戏方案，使游戏对双方公平。修改方法有两种：①修改游戏规则，使游戏双方获胜的概率相等；②修改游戏工具，选择或设计使双方获胜的概率相等的游戏工具。