《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

7[2024通辽中考]如图,□ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明□ABCD是菱形的是(D)
A.∠BAC= ∠BCA
B.∠ABD= ∠CBD
$C.OA^2+OD^2= AD^2$
$D.AD^2+OA^2= OD^2$

答案： D
∵ $ \angle B A C = \angle B C A $，
∴ $ A B = B C $，
∴ $ □ A B C D $ 是菱形，A 项不符合题意；
∵ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形，
∴ $ A D // B C $，
∴ $ \angle A D B = \angle C B D $，
∵ $ \angle A B D = \angle C B D $，
∴ $ \angle A B D = \angle A D B $，
∴ $ A B = A D $，
∴ $ □ A B C D $ 是菱形，B 项不符合题意；
∵ $ O A ^ { 2 } + O D ^ { 2 } = A D ^ { 2 } $，
∴ $ \angle A O D = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ A C \perp B D $，
∴ $ □ A B C D $ 是菱形，C 项不符合题意；
∵ $ A D ^ { 2 } + O A ^ { 2 } = O D ^ { 2 } $，
∴ $ \angle O A D = 90 ^ { \circ } $，
∴ $ O A \perp A D $，但不能证明 $ □ A B C D $ 是菱形，D 项符合题意。

8如图,在△ABC中,AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,AE//CD,CE//AD.若从三个条件①AB= AC,②AB= BC,③AC= BC中,选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE为菱形的是______②.(填序号)

答案： ② 当 $ A B = B C $ 时，$ \angle B A C = \angle A C B $。
∵ $ A E // C D $，$ C E // A D $，
∴ 四边形 $ A D C E $ 是平行四边形。
∵ $ A D $，$ C D $ 分别平分 $ \angle B A C $ 和 $ \angle A C B $，
∴ $ \angle D A C = \frac { 1 } { 2 } \angle B A C $，$ \angle D C A = \frac { 1 } { 2 } \angle A C B $，
∴ $ \angle D A C = \angle D C A $，
∴ $ D A = D C $，
∴ 四边形 $ A D C E $ 是菱形。

9[2025黔东南州月考]如图,在四边形ABCD中,AB//CD,点E,F是对角线AC上两点,且∠ABF= ∠CDE,AE= CF.
(1)求证:△ABF≌△CDE.
(2)当四边形ABCD的边AB,AD满足什么条件时,四边形BEDF是菱形?说明理由.

答案：

(1) 证明：
∵ $ A B // C D $，
∴ $ \angle B A C = \angle D C A $。
∵ $ A E = C F $，
∴ $ A E + E F = C F + E F $，即 $ A F = C E $。
在 $ \triangle A B F $ 和 $ \triangle C D E $ 中，$ \left\{ \begin{array} { l } { \angle B A F = \angle D C E }, \\ { \angle A B F = \angle C D E }, \\ { A F = C E }, \end{array} \right. $
∴ $ \triangle A B F \cong \triangle C D E ( A A S ) $。
(2) 解：当四边形 $ A B C D $ 满足 $ A B = A D $ 时，四边形 $ B E D F $ 是菱形。理由如下：
连接 $ B D $ 交 $ A C $ 于点 $ O $，如图。
由
(1) 得 $ \triangle A B F \cong \triangle C D E $，
∴ $ A B = C D $，$ B F = D E $，$ \angle A F B = \angle C E D $，
∴ $ B F // D E $。
∵ $ A B // C D $，$ A B = C D $，
∴ 四边形 $ A B C D $ 是平行四边形。
又
∵ $ A B = A D $，
∴ 平行四边形 $ A B C D $ 是菱形，
∴ $ B D \perp A C $。
∵ $ B F = D E $，$ B F // D E $，
∴ 四边形 $ B E D F $ 是平行四边形，
∴ 四边形 $ B E D F $ 是菱形。

10教材P27T8变式[2024郑州一中教育集团调研]如图1,△ABC为等腰三角形,AB= AC= a,点P是底边BC上的一个动点,PD//AC交AC于点D,PE//AB交AC于点E.
(1)用a表示四边形ADPE的周长:______.
(2)点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形?请说明理由.
(3)如果△ABC不是等腰三角形,如图2,其他条件不变,点P运动到什么位置时,四边形ADPE是菱形?(不必说明理由)

答案：
解：
(1) $ 2 a $
∵ $ P D // A C $，$ P E // A B $，
∴ 四边形 $ A D P E $ 为平行四边形，
∴ $ A D = P E $，$ D P = A E $。
∵ $ A B = A C $，
∴ $ \angle B = \angle C $。
∵ $ P D // A C $，
∴ $ \angle D P B = \angle C $，
∴ $ \angle B = \angle D P B $，
∴ $ B D = D P $，
∴ 四边形 $ A D P E $ 的周长为 $ 2 ( A D + D P ) = 2 ( A D + B D ) = 2 A B = 2 a $。
(2) 当点 $ P $ 运动到 $ B C $ 的中点时，四边形 $ A D P E $ 是菱形。理由如下：
如图 1，连接 $ A P $。
∵ $ P D // A C $，$ P E // A B $，
∴ 四边形 $ A D P E $ 为平行四边形。
∵ $ A B = A C $，$ P $ 为 $ B C $ 的中点，
∴ $ \angle P A D = \angle P A E $。
∵ $ P E // A B $，
∴ $ \angle P A D = \angle A P E $，
∴ $ \angle P A E = \angle A P E $，
∴ $ E A = E P $，
∴ 四边形 $ A D P E $ 是菱形。

(3) 点 $ P $ 运动到 $ \angle B A C $ 的平分线上时，四边形 $ A D P E $ 是菱形。
如图 2，连接 $ A P $。
∵ $ P D // A C $，$ P E // A B $，
∴ 四边形 $ A D P E $ 是平行四边形。
∵ $ A P $ 平分 $ \angle B A C $，
∴ $ \angle 1 = \angle 2 $，
∵ $ A B // E P $，
∴ $ \angle 1 = \angle 3 $，
∴ $ \angle 2 = \angle 3 $，
∴ $ A E = E P $，
∴ 四边形 $ A D P E $ 是菱形。

【回顾与思考】
获得菱形的性质及判定条件通常有哪些途径?

答案： 【解析】：获得菱形的性质及判定条件通常有以下途径。从定义出发，菱形是有一组邻边相等的平行四边形，这既可以作为判定菱形的一个重要依据，同时也能推导出菱形的一些基本性质，比如菱形具有平行四边形的所有性质。从图形的操作和观察入手，通过对菱形图形进行折叠、测量等操作，能直观地发现菱形的边、角、对角线等方面的性质，例如菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分每一组对角。从已有的定理和结论推导，利用平行四边形的相关定理以及三角形全等、相似等知识来推导菱形的性质和判定条件，比如通过证明四边形的四条边相等来判定它是菱形。
【答案】：从定义（有一组邻边相等的平行四边形）、图形操作与观察、已有的定理和结论推导等途径。