《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024柳州城中区期中]下列方程是一元二次方程的是 (B)
归纳总结
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，然后看未知数的个数是否为 1，再看未知数的最高次数是否为 2。若是，再对它进行整理。如果能整理为 $ ax^{2}+bx+c = 0 $（$ a $，$ b $，$ c $ 为常数，$ a \neq 0 $）的形式，那么这个方程就是一元二次方程。
A. $ 2 x + 1 = 0 $
B. $ x ^ { 2 } - 3 x + 1 = 0 $
C. $ x ^ { 2 } + y = 1 $
D. $ \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - 1 = 2 $

答案： B
归纳总结
要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，然后看未知数的个数是否为 1，再看未知数的最高次数是否为 2。若是，再对它进行整理。如果能整理为 $ ax^{2}+bx+c = 0 $（$ a $，$ b $，$ c $ 为常数，$ a \neq 0 $）的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

关于x的方程$ ( m - 1 ) x ^ { | m | + 1 } - 4 x + 3 = 0 $是一元二次方程,则$ m = $-1.

答案： -1
∵ 关于 $ x $ 的方程 $ (m - 1)x^{|m| + 1}-4x + 3 = 0 $ 是一元二次方程，
∴ $ m - 1 \neq 0 $，（不要忽略“二次项系数不等于 0”这一限制条件）$ |m| + 1 = 2 $，
∴ $ m = -1 $。

3 [2025太原期中]将一元二次方程$ ( x + 1 ) ( x - 1 ) = x $化成一般形式正确的是 (B)
A. $ x ^ { 2 } - x + 1 = 0 $
B. $ x ^ { 2 } - x - 1 = 0 $
C. $ x ^ { 2 } + x + 1 = 0 $
D. $ x ^ { 2 } + x - 1 = 0 $

答案： B 由 $ (x + 1)(x - 1) = x $，得 $ x^{2}-1 - x = 0 $，即 $ x^{2}-x - 1 = 0 $。

4 [2025武汉洪山区期中]将一元二次方程$ 2 x ^ { 2 } + 1 = 5 x $化为一般形式后,常数项是1,则二次项系数和一次项系数分别是 (2，-5)
A. 2,-5
B. 2,5
C. 2,1
D. $ 2 x ^ { 2 } $,$ - 5 x $

答案： A 由 $ 2x^{2}+1 = 5x $，得 $ 2x^{2}-5x + 1 = 0 $，此时常数项为 1，二次项系数为 2，一次项系数为 -5。

5 [2024徐州期中]关于x的一元二次方程$ x ^ { 2 } + m x = 3 x + 5 $化为一般形式后不含一次项,则m的值为 (3)
A. 0
B. $ \pm 3 $
C. 3
D. -3

答案： C 将 $ x^{2}+mx = 3x + 5 $ 化为一般形式，得 $ x^{2}+(m - 3)x - 5 = 0 $，因为该方程不含一次项，所以 $ m - 3 = 0 $，解得 $ m = 3 $。（不含某一项，即该项的系数为 0）

6 [2023哈尔滨中考]为了改善居民生活环境,云宁小区对一块矩形空地进行绿化,这块空地的长比宽多6米,面积为720平方米,设矩形空地的长为x米,根据题意,所列方程正确的是 (A)
A. $ x ( x - 6 ) = 720 $
B. $ x ( x + 6 ) = 720 $
C. $ x ( x - 6 ) = 360 $
D. $ x ( x + 6 ) = 360 $

答案： A 矩形空地的长为 $ x $ 米，则矩形空地的宽为 $ (x - 6) $ 米，则 $ x(x - 6) = 720 $。

7 教材P32习题T1变式[2024重庆段考]两个连续奇数的积是99,设较小的一个奇数为x,则可列方程为 (B)
A. $ x ( x + 1 ) = 99 $
B. $ x ( x + 2 ) = 99 $
C. $ x ( x - 1 ) = 99 $
D. $ x ( x - 2 ) = 99 $

答案： B 较小的一个奇数为 $ x $，则较大的一个奇数为 $ x + 2 $，则 $ x(x + 2) = 99 $。

8 新趋势·数学文化[2025郑州五十六中月考]我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题:“六贯二百一十钱,倩人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为:现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱,试问6210文能买多少株椽.设这批椽的数量为x株,则符合题意的方程是 (A)
A. $ 3 ( x - 1 ) x = 6 210 $
B. $ 3 ( x - 1 ) = 6 210 $
C. $ ( 3 x - 1 ) x = 6 210 $
D. $ 3 x = 6 210 $

答案： A

9 根据下列问题,列出关于x的一元二次方程,并将其化成一般形式.
(1)一个直角三角形的斜边长为10,两条直角边长相差2,求较长的直角边长x.
列出方程：$ x^{2}+(x - 2)^{2}=10^{2} $，一般形式：$ x^{2}-2x - 48 = 0 $
(2)如图,会议桌的桌面是一个矩形,长1.6米,宽1米,现准备制作一块矩形桌布,要求桌布的面积是桌面面积的2倍,且使桌面四周垂下的长度相等.设四周垂下的长度为x米,求x.
列出方程：$ (1.6 + 2x)(1 + 2x) = 2×1.6×1 $，一般形式：$ x^{2}+1.3x - 0.4 = 0 $

答案： 解：（1）因为较长的直角边长为 $ x $，且两条直角边长相差 2，所以较短的直角边长为 $ x - 2 $，又因为斜边长为 10，所以由勾股定理，得 $ x^{2}+(x - 2)^{2}=10^{2} $，化为一般形式，得 $ x^{2}-2x - 48 = 0 $。
（2）因为四周垂下的长度为 $ x $ 米，所以桌布的长为 $ (1.6 + 2x) $ 米，宽为 $ (1 + 2x) $ 米。根据桌布的面积是桌面面积的 2 倍，可得 $ (1.6 + 2x)(1 + 2x) = 2×1.6×1 $，化为一般形式，得 $ x^{2}+1.3x - 0.4 = 0 $。
策略点拨
根据实际问题列一元二次方程的策略
（1）审题——弄清题意及已知量和未知量，找出题中的等量关系，明确涉及的基本数量关系；（2）设未知数——选择一个适当的未知量设为未知数，并用含该未知数的代数式表示其他未知量；（3）列方程——根据题中的等量关系列出一元二次方程。