《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2023泸州中考]关于x的一元二次方程$x^{2}+2ax+a^{2}-1= 0$的根的情况是 (C)
A. 没有实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 实数根的个数与实数a的取值有关

答案： C $\because \Delta=(2 a)^{2}-4 \times 1 \times\left(a^{2}-1\right)=4 a^{2}-4 a^{2}+4=4＞0$，$\therefore$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2 a x+a^{2}-1=0$ 有两个不相等的实数根.

2 [2025武汉调研]已知关于x的方程$kx^{2}+(1-k)x-1= 0$,下列说法中正确的是 (B)
A. 当$k= 0$时,方程无解
B. 当$k= 1$时,方程有两个不相等的实根
C. 当$k= -1$时,方程有一个实根
D. 当$k≠0$时,方程一定有两个不相等的实根

答案： B 当 $k=0$ 时，方程为 $x-1=0$，此方程为一元一次方程，且解为 $x=1$，故 A 项不符合题意. 当 $k \neq 0$ 时，方程为一元二次方程，$\Delta=(1-k)^{2}-4 \times k \times(-1)=(k+1)^{2}$. 当 $k=1$ 时，$\Delta=4＞0$，所以方程有两个不相等的实根，故 B 项符合题意. 当 $k=-1$ 时，$\Delta=0$，所以方程有两个相等的实根，故 C 项不符合题意. 当 $k \neq 0$，但 $k=-1$ 时，方程有两个相等的实根，故 D 项不符合题意.

3 [2025福州台江区一检]已知关于x的一元二次方程$x^{2}-(k+5)x+6+2k= 0$.
(1)求证:此方程总有两个实数根;
(2)若此方程恰有一个根小于-1,求k的取值范围.

答案：
(1) 证明：$\because \Delta=(k+5)^{2}-4(6+2 k)=k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2} \geq 0$，$\therefore$ 此方程总有两个实数根.
(2) 解：$\because x=\frac{k+5 \pm(k+1)}{2}$，$\therefore x_{1}=2, x_{2}=k+3$，$\because$ 此方程恰有一个根小于 $-1$，$\therefore k+3＜-1$，解得 $k＜-4$，即 $k$ 的取值范围为 $k＜-4$.

4 [2024北京中考]若关于x的一元二次方程$x^{2}-4x+c= 0$有两个相等的实数根,则实数c的值为 (4)
A. -16
B. -4
C. 4
D. 16

答案： C 因为关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4 x+c=0$ 有两个相等的实数根，所以 $\Delta=(-4)^{2}-4 c=0$，解得 $c=4$.

若关于x的一元二次方程$kx^{2}-6x+9= 0$有实数根,则k的取值范围是$k \leq 1$ 且 $k \neq 0$.

答案： $k \leq 1$ 且 $k \neq 0$ $\because$ 一元二次方程 $k x^{2}-6 x+9=0$ 有实数根，$\therefore(-6)^{2}-4 \times 9 k \geq 0$ 且 $k \neq 0$，$\therefore k \leq 1$ 且 $k \neq 0$.

5 [2024成都武侯区期末]《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》优化了课程内容结构,设立跨学科主题学习活动,以强化实践性要求.在一堂数学、美术的融合课中,每个同学桌上都有一段长60 cm的铁丝,需要将铁丝剪成两段,并把每一段铁丝做成一个配件.
(1)填空:小东想做两个正方形配件,若设其中一个正方形配件的边长为x cm,则另一个正方形配件的边长为____15-x____cm(请用含x的代数式表示).
(2)在(1)的基础上,若小东想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于$100cm^{2}$,请问小东的想法能否实现.为什么?

答案： 解：
(1) $(15-x)$
$\because$ 两段铁丝的总长度为 $60 \mathrm{~cm}$，且做成的一个正方形配件的边长为 $x \mathrm{~cm}$，$\therefore$ 另一个正方形配件的边长为 $\frac{60-4 x}{4}=(15-x)(\mathrm{cm})$.
(2) 小东的想法不能实现. 理由如下：
假设小东的想法能够实现，根据题意，得 $x^{2}+(15-x)^{2}=100$，
整理，得 $2 x^{2}-30 x+125=0$，
$\because \Delta=(-30)^{2}-4 \times 2 \times 125=-100＜0$，
$\therefore$ 原方程没有实数根，
$\therefore$ 假设不成立，即小东的想法不能实现.