《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

4 [2025枣庄市中区期中]小明正在参加全国“数学竞赛”,只要他再答对最后两道单选题就能顺利过关,其中第一道题有3个选项,第二道题有4个选项,而这两道题小明都不会,不过小明还有一次“求助”没有使用(使用“求助”可让主持人去掉其中一题的一个错误选项).
(1)如果小明第一题不使用“求助”,随机选择一个选项,那么小明答对第一道题的概率是______.
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用,请用画树状图或列表法求小明能顺利过关的概率.
(3)请你从概率的角度分析,建议小明在第几题使用“求助”,才能使他过关的概率较大.

答案：
解:
(1)$\frac{1}{3}$
(2)画树状图如下:
必会的概率计算方法

由树状图可知，共有9种等可能的结果，小明顺利通关的结果只有1种，
所以小明顺利通关的概率为$\frac{1}{9}$。
(3)如果在第一题使用“求助”，
画树状图如下:

由树状图可知，共有8种等可能的结果，小明顺利通关的结果有1种，所以小明顺利通关的概率为$\frac{1}{8}$。
如果在第二题使用“求助”，由
(2)知小明顺利通关的概率为$\frac{1}{9}$，所以建议小明在第一题使用“求助”。

5 [2024北京清华附中统练]小夏同学从家到学校有A,B两条不同的公交线路.为了解早高峰期间这两条线路上的公交车从家到学校的用时情况,在每条线路上随机选取了500个班次的公交车,收集了这些班次的公交车用时t(单位:min)的数据,统计如下:

(1)据此估计,早高峰期间,乘坐B线路用时不超过35min的概率为______$\frac{1}{5}$;
(2)若要在40min内到达学校,应尽量选择乘坐______A(填A或B)线路.

答案：
(1)$\frac{1}{5}$;
(2)A
(1)
∵乘坐B线路用时不超过35min的有43+57=100(个),
∴乘坐B线路用时不超过35min的概率为$\frac{100}{500}=\frac{1}{5}$。
(2)
∵A线路不超过40min的有59+151+166=376(个),B线路不超过40min的有43+57+149=249(个),
∴选择A线路。

6 [2024陇南武都区期末]不透明的袋中有若干个红球和黑球,每个球除颜色外无其他差别.现从袋中随机摸出1个球,记下颜色后放回并搅匀.经过大量重复该试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.4附近.
(1)估计摸到黑球的概率是______0.4;
(2)如果袋中的黑球有8个,求袋中共有几个球;
(3)在(2)的条件下,又放入n个黑球,再经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在0.8附近,直接写出n的值.40

答案： 解:
(1)0.4
(2)设袋中有m个球，
根据题意，得$\frac{8}{m}=0.4$，
解得m=20，经检验，m=20是分式方程的解，
所以袋中有20个球。
(3)n的值为40。
根据题意，得$\frac{8+n}{20+n}=0.8$，
解得n=40，经检验，n=40是分式方程的解，
所以n=40。

【回顾与思考】
你掌握了哪些求概率的方法?请举例说明.

答案： 【解析】：求概率的方法主要有以下几种：
1. 公式法：当试验结果是有限个且每个结果出现的可能性相等时，可使用公式$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$n$是所有可能出现的结果数，$m$是事件$A$发生的结果数。例如，掷一枚质地均匀的骰子，求掷出奇数点的概率。所有可能的结果有$6$种（$1$，$2$，$3$，$4$，$5$，$6$），即$n = 6$；掷出奇数点（$1$，$3$，$5$）的结果有$3$种，即$m = 3$，那么掷出奇数点的概率$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$。
2. 列表法：当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。例如，同时掷两枚质地均匀的硬币，求两枚硬币都正面朝上的概率。通过列表可以清晰地列出所有可能的结果（正正、正反、反正、反反），共$4$种，两枚硬币都正面朝上的结果只有$1$种，所以概率为$\frac{1}{4}$。
3. 树状图法：当一次试验涉及三个或更多因素时，用列表法就不方便了，此时可采用树状图法。例如，一个不透明的袋子里有红、黄、蓝三个小球，从中依次摸出两个球，求摸到红球和黄球的概率。通过树状图可以列出所有可能的结果（红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄），共$6$种，摸到红球和黄球的情况有$2$种，所以概率为$\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
4. 频率估计概率法：当试验的所有可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，我们一般通过统计频率来估计概率。例如，要估计某鱼塘中鱼的数量，可先从鱼塘中捞出$100$条鱼做上标记，然后放回鱼塘，经过一段时间后，再从中随机捞出$200$条鱼，其中有标记的鱼有$10$条。设鱼塘中总共有$x$条鱼，根据频率与概率的关系可得$\frac{100}{x}\approx\frac{10}{200}$，从而估算出鱼塘中鱼的数量。
【答案】：求概率的方法有公式法、列表法、树状图法、频率估计概率法。公式法如掷一枚质地均匀的骰子求掷出奇数点的概率；列表法如同时掷两枚质地均匀的硬币求两枚硬币都正面朝上的概率；树状图法如从红、黄、蓝三个小球中依次摸出两个球求摸到红球和黄球的概率；频率估计概率法如估计鱼塘中鱼的数量。