《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2025淮安期中]已知在$□ ABCD$中,$∠A= 90^{\circ }$,如果再添加一个条件,可使该平行四边形是正方形,那么这个条件可以是 (D)
A.$∠B= 90^{\circ }$
B.$AB= CD$
C.$AD= BC$
D.$AB= AD$

答案： D 根据“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形”，可知添加AB = AD可使▱ABCD是正方形。
归纳总结
菱形、矩形、正方形与平行四边形之间的区别与联系
菱形、矩形、正方形都是平行四边形，且都是特殊的平行四边形，特殊之处在于：菱形是有一组邻边相等的平行四边形；矩形是有一个角为直角的平行四边形；正方形是同时具备“有一组邻边相等”和“有一个角为直角”的更特殊的平行四边形，它既是矩形，又是菱形。

2 [2025开封月考]图1的杜岭二号方鼎是河南博物院九大镇院之宝之一,方鼎的口呈正方形(如图2),正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,则下列说法不正确的是 (B)


A.$AC⊥BD$
B.$AD= AO$
C.$DO= CO$
D.$∠DAO= ∠BAC$

答案： B
∵正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
∴AC⊥BD，OA = OC = OB = OD，∠DAO = ∠BAC = 45°，
∴AD = √2AO，故B项说法不正确。

3 [2024九江期中]如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使$AE= AC$,则$∠BCE$的度数是 (22.5°)

A.$62.5^{\circ }$
B.$45^{\circ }$
C.$32.5^{\circ }$
D.$22.5^{\circ }$

答案： D
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = CB，∠ABC = 90°，
∴∠BAC = ∠BCA = 45°，
∵AE = AC，
∴∠E = ∠ACE，
∵∠E + ∠ACE = 180° - 45° = 135°，
∴2∠ACE = 135°，
∴∠ACE = 67.5°，
∴∠BCE = 67.5° - 45° = 22.5°。

4 [2023怀化中考]如图,点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点,$PE⊥AD$于点E,$PE= 3$,则点P到直线AB的距离为______.

答案：
3 如图，过点P作PF⊥AB于点F，由四边形ABCD为正方形，易得AC平分∠BAD，
∵PE⊥AD，PF⊥AB，
∴PF = PE = 3，
∴点P到直线AB的距离为3。

5 [2024南阳期末]如图,在正方形ABCD中,点P在AC上,$PE⊥AB,PF⊥BC$,垂足分别为E,F,$EF= 3$,则DP的长为______.

答案：
3 如图，连接PB，在正方形ABCD中，AB = AD，∠BAC = ∠DAC = 45°。又
∵AP = AP，
∴△ABP≌△ADP(SAS)，
∴BP = DP。
∵PE⊥AB，PF⊥BC，∠ABC = 90°，
∴四边形BFPE是矩形，
∴PB = EF，
∴DP = EF = 3。

方法指导
利用正方形的性质求解线段的长的思路
利用正方形的性质求解线段的长度时，通常先将涉及的线段转化到直角三角形（特别是等腰直角三角形）中，再结合勾股定理或三角形全等求解。

6 [2024济宁期末]如图,在正方形ABCD中,等边三角形AEF的顶点E,F分别在边BC和CD上,则$∠AEB$的度数是______75°.

答案： 75°
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B = ∠D = 90°，AB = AD，
∵△AEF为等边三角形，
∴AE = AF，∠EAF = 60°，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴∠BAE = ∠DAF，
∵∠BAE + ∠DAF = 90° - 60° = 30°，
∴∠BAE = 15°，
∴∠AEB = 90° - 15° = 75°。

7 [2024北京海淀区期中]如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC上的点,作$DM⊥EF$于点M.判断$∠CDM与∠BFE$是否相等,并说明理由.

解：∠CDM = ∠BFE。理由如下：
在正方形ABCD中，AD//BC，∠ADC = 90°，
∴∠DEM = ∠BFE，∠MDA + ∠CDM = 90°。
∵DM⊥EF，∴∠EMD = 90°，
∴∠DEM + ∠MDA = 90°，
∴∠DEM = ∠CDM = 90° - ∠MDA，
∴∠CDM = ∠BFE。

答案： 解：∠CDM = ∠BFE。理由如下：
在正方形ABCD中，AD//BC，∠ADC = 90°，
∴∠DEM = ∠BFE，∠MDA + ∠CDM = 90°。
∵DM⊥EF，
∴∠EMD = 90°，
∴∠DEM + ∠MDA = 90°，
∴∠DEM = ∠CDM = 90° - ∠MDA，
∴∠CDM = ∠BFE。

8 [2023黄石中考]如图,正方形ABCD中,点M,N分别在AB,BC上,且$BM= CN$,AN与DM相交于点P.
(1)求证:$\triangle ABN\cong \triangle DAM$.
(2)求$∠APM$的大小.

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = BC，∠DAM = ∠ABN = 90°，
∵BM = CN，∴BC - CN = AB - BM，即BN = AM。
在△ABN和△DAM中，{AB = DA，∠ABN = ∠DAM，BN = AM}
∴△ABN≌△DAM(SAS)。
(2)解：由（1）知△ABN≌△DAM，∴∠MAP = ∠ADM，
∴∠MAP + ∠AMP = ∠ADM + ∠AMP = 90°，
∴∠APM = 180° - (∠MAP + ∠AMP) = 90°。

答案： （1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB = AD = BC，∠DAM = ∠ABN = 90°，
∵BM = CN，
∴BC - CN = AB - BM，即BN = AM。
在△ABN和△DAM中，{AB = DA，∠ABN = ∠DAM，BN = AM}
∴△ABN≌△DAM(SAS)。
（2）解：由（1）知△ABN≌△DAM，
∴∠MAP = ∠ADM，
∴∠MAP + ∠AMP = ∠ADM + ∠AMP = 90°，
∴∠APM = 180° - (∠MAP + ∠AMP) = 90°。
方法指导
利用正方形的性质求解问题的关键
充分利用正方形的四条边相等、四个角为直角、对角线互相垂直平分且相等是求解此类问题的关键，注意在解题时要与三角形全等、等腰直角三角形等知识相结合。