《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

利用配方法求解最值问题
先阅读下面的例题,再按要求解答下列问题：
例题：求代数式$y^{2}+6y+12$的最小值.
解：$y^{2}+6y+12= y^{2}+6y+9+3= (y+3)^{2}+3$,
因为$(y+3)^{2}≥0$,所以$(y+3)^{2}+3≥3$,
所以代数式$y^{2}+6y+12$的最小值为3.
(1)求代数式$\frac {1}{2}m^{2}+2m+3$的最小值.
解:$\frac {1}{2}m^{2}+2m+3=\frac {1}{2}(m^{2}+4m+4-4)+3=\frac {1}{2}(m+2)^{2}+1,$
因为$\frac {1}{2}(m+2)^{2}≥0$,所以$\frac {1}{2}(m+2)^{2}+1≥1,$
所以代数式$\frac {1}{2}m^{2}+2m+3$的最小值为1.
(2)求代数式$-m^{2}+3m+\frac {3}{4}$的最大值.
解:$-m^{2}+3m+\frac {3}{4}=-(m^{2}-3m+\frac {9}{4}-\frac {9}{4})+\frac {3}{4}=-(m-\frac {3}{2})^{2}+3,$
因为$-(m-\frac {3}{2})^{2}≤0$,所以$-(m-\frac {3}{2})^{2}+3≤3,$
所以代数式$-m^{2}+3m+\frac {3}{4}$的最大值为3.
(3)证明：$2x^{2}-4x+5$的值不小于3.
证明:$2x^{2}-4x+5=2(x^{2}-2x+1-1)+5=2(x-1)^{2}+3,$
因为$2(x-1)^{2}≥0$,所以$2(x-1)^{2}+3≥3,$
所以$2x^{2}-4x+5$的值不小于3.
(4)拓展：已知实数x,y满足$x^{2}+3x+y-3= 0$,求$y-x$的最大值.
解:由$x^{2}+3x+y-3=0$,得$y=-x^{2}-3x+3,$
所以$y-x=-x^{2}-3x+3-x=-x^{2}-4x+3=-(x^{2}+4x+4-4)+3=-(x+2)^{2}+7,$
因为$-(x+2)^{2}≤0$,所以$-(x+2)^{2}+7≤7,$
所以$y-x$的最大值为7.
(5)应用：某居民小区要在一块一边靠墙(墙长为15m)的空地上建一个矩形花园ABCD,花园一边靠墙,另三边用总长为20m的栅栏围成.如图,设$AB= y$m,请问：当y取何值时,花园的面积最大？最大是多少？
解:由题意,得花园的面积是$y(20-2y)=-2y^{2}+20y.$
$-2y^{2}+20y=-2(y^{2}-10y+25-25)=-2(y-5)^{2}+50,$
因为$-2(y-5)^{2}≤0$,所以$-2(y-5)^{2}+50≤50,$
所以当$y=$5时,$-2y^{2}+20y$取得最大值,最大值为50,
此时$20-2y=10＜15$,符合题意,
所以当$y=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50m^{2}.$

答案：
(1)解:$\frac {1}{2}m^{2}+2m+3=\frac {1}{2}(m^{2}+4m+4-4)+3=\frac {1}{2}(m+2)^{2}+1,$
因为$\frac {1}{2}(m+2)^{2}≥0$,所以$\frac {1}{2}(m+2)^{2}+1≥1,$
所以代数式$\frac {1}{2}m^{2}+2m+3$的最小值为 1.
(2)解:$-m^{2}+3m+\frac {3}{4}=-(m^{2}-3m+\frac {9}{4}-\frac {9}{4})+\frac {3}{4}=-(m-\frac {3}{2})^{2}+3,$
因为$-(m-\frac {3}{2})^{2}≤0$,所以$-(m-\frac {3}{2})^{2}+3≤3,$
所以代数式$-m^{2}+3m+\frac {3}{4}$的最大值为 3.
(3)证明:$2x^{2}-4x+5=2(x^{2}-2x+1-1)+5=2(x-1)^{2}+3,$
因为$2(x-1)^{2}≥0$,所以$2(x-1)^{2}+3≥3,$
所以$2x^{2}-4x+5$的值不小于 3.
(4)解:由$x^{2}+3x+y-3=0$,得$y=-x^{2}-3x+3,$
所以$y-x=-x^{2}-3x+3-x=-x^{2}-4x+3=-(x^{2}+4x+4-4)+3=-(x+2)^{2}+7,$
因为$-(x+2)^{2}≤0$,所以$-(x+2)^{2}+7≤7,$
所以$y-x$的最大值为 7.
(5)解:由题意,得花园的面积是$y(20-2y)=-2y^{2}+20y.$
$-2y^{2}+20y=-2(y^{2}-10y+25-25)=-2(y-5)^{2}+50,$
因为$-2(y-5)^{2}≤0$,所以$-2(y-5)^{2}+50≤50,$
所以当$y=5$时,$-2y^{2}+20y$取得最大值,最大值为 50,
此时$20-2y=10＜15$,符合题意,
所以当$y=5$时,花园的面积最大,最大面积是$50m^{2}.$