《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

8 新趋势·数学文化[2024徐州期中]有这么一道题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何.”意思是:一块矩形田地的面积为864平方步,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步.经过计算,你的结论是:长比宽多 (12)
A. 12步
B. 24步
C. 36步
D. 48步

答案： A 设矩形田地的长为$x(x＞30)$步,则宽为$(60-x)$步,根据题意,得$x(60-x)=864$,整理,得$x^{2}-60x+864=0$,解得$x=36$或$x=24$(舍去),所以$x-(60-x)=12$.

过年期间,某家庭微信群规定,群内的每个人都要发一次红包,并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包,若此次抢红包活动,群内所有人共抢到156个红包(所有红包均被抢完),则该群一共有13人.

答案： 13 设该群一共有x人,根据题意,得$x(x-1)=156$,解得$x=-12$(舍去)或$x=13$,所以这个群一共有13人.

10 [2024杭州西湖区期中]某农场要建一个饲养场(矩形ABCD),两面靠墙(AD位置的墙最大可用长度为27m,AB位置的墙最大可用长度为15m),另两边用木栏围成,中间也用木栏隔开,分成两个场地及一处通道,并在如图所示的三处各留1m宽的门(不用木栏).建成后木栏总长45m.
(1)若饲养场(矩形ABCD)的一边CD长为8m,则另一边BC= ______24m.
(2)若饲养场(矩形ABCD)的面积为$ 180 \mathrm{m}^{2} $,求边CD的长.
(3)饲养场的面积能达到$ 210 \mathrm{m}^{2} $吗?若能达到,求出边CD的长;若不能达到,请说明理由.

答案： 解:
(1)24$BC=45-8-2×(8-1)+1=24(m)$.
(2)设$CD=x(0＜x≤15)m$,则$BC=45-x-2(x-1)+1=(48-3x)(m)$,由题意,得$x(48-3x)=180$,整理,得$x^{2}-16x+60=0$,解得$x_{1}=6$,$x_{2}=10$.当$x=6$时,$48-3x=48-3×6=30(m)$,$30＞27$,不合题意,舍去;当$x=10$时,$48-3x=48-3×10=18(m)$,符合题意.答:边CD的长为10m.
(3)不能.理由如下:设$CD=y(0＜y≤15)m$,则$BC=45-y-2(y-1)+1=(48-3y)(m)$,由题意,得$y(48-3y)=210$,整理,得$y^{2}-16y+70=0$.$\because Δ=(-16)^{2}-4×1×70=256-280=-24＜0$,$\therefore$该方程没有实数根,$\therefore$饲养场的面积不能达到$210m^{2}$.

11 如图,在$ \triangle ABC $中,$ \angle C= 90^{\circ} $,$ AC= 12 \mathrm{cm} $,$ BC= 16 \mathrm{cm} $,点P从点A出发沿边AC以1cm/s的速度向点C运动,点Q从点B出发沿BC边以2cm/s的速度向点C运动,P,Q同时出发,当点Q到达点C时,点P也停止运动.
(1)求两点出发几秒时,$ \triangle PCQ $的面积为 32 \mathrm{cm}^{2} .
答:两点出发4s时,$△PCQ$的面积为$32cm^{2}$.
(2)在两点的运动过程中,是否存在某个时刻,使得四边形APQB的面积等于$ \triangle ABC 的面积的 \frac{5}{6} $?若存在,求出运动所需的时间;若不存在,请说明理由.
答:存在.两点运动$10-2\sqrt{5}$s时,四边形APQB的面积等于$△ABC$的面积的$\frac {5}{6}$.

答案： 解:
(1)设两点出发xs时,$△PCQ$的面积为$32cm^{2}$,则$AP=xcm$,$BQ=2xcm$,$\therefore PC=(12-x)cm$,$QC=(16-2x)cm$,根据题意,得$\frac {1}{2}(12-x)(16-2x)=32$,整理,得$x^{2}-20x+64=0$,解得$x_{1}=4$,$x_{2}=16$,$\because 2x≤16$,即$x≤8$,$\therefore x=4$.答:两点出发4s时,$△PCQ$的面积为$32cm^{2}$.
(2)存在.理由如下:设两点运动所需的时间为ys,则$AP=ycm$,$BQ=2ycm$,$\therefore PC=(12-y)cm$,$QC=(16-2y)cm$,根据题意,得$\frac {1}{2}(12-y)(16-2y)=\frac {1}{2}×12×16×(1-\frac {5}{6})$,整理,得$y^{2}-20y+80=0$,解得$y_{1}=10+2\sqrt {5}$,$y_{2}=10-2\sqrt {5}$,$\because 2y≤16$,即$y≤8$,$\therefore y=10-2\sqrt {5}$.答:两点运动$(10-2\sqrt {5})s$时,四边形APQB的面积等于$△ABC$的面积的$\frac {5}{6}$.