《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 阅读下列材料：
如图1,我们把一个四边形ABCD的四边中点E,F,G,H依次连接起来,得到的四边形EFGH是平行四边形吗？
小敏在思考问题时,有如下思路：连接AC.
点E,F分别是AB,BC的中点$\xrightarrow{三角形中位线定理}EF// AC,$$EF= \frac{1}{2}AC；$
点H,G分别是AD,CD的中点$\xrightarrow{三角形中位线定理}HG// AC,$$HG= \frac{1}{2}AC→EF// HG,$EF= HG→四边形EFGH是平行四边形.
结合小敏的思路作答：
(1)若只改变图1中四边形ABCD的形状(如图2),则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由.
(2)如图2,在(1)的条件下,若连接AC,BD.
①当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是菱形？写出结论并证明.
②当AC与BD满足什么条件时,四边形EFGH是矩形？直接写出结论即可.

答案：
解：
(1)四边形EFGH是平行四边形.理由如下：
如图，连接AC，
∵E是AB的中点，F是BC的中点，
∴EF//AC，EF=$\frac{1}{2}$AC，

同理，HG//AC，HG=$\frac{1}{2}$AC，
疑难集训
∴EF//HG，EF=HG，
∴四边形EFGH是平行四边形.
(2)①当AC=BD时，四边形EFGH为菱形.证明如下：
由
(1)得，四边形EFGH是平行四边形，HG=$\frac{1}{2}$AC，
∵F，G分别是BC，CD的中点，
∴FG=$\frac{1}{2}$BD，
当AC=BD时，FG=HG，
∴四边形EFGH为菱形.
②当AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形.
提示：同
(1)得，四边形EFGH是平行四边形，
∵AC⊥BD，GH//AC，
∴GH⊥BD.
∵F，G分别是BC，CD的中点，
∴GF//BD，
∴GH⊥GF，
∴∠HGF=90°，
∴四边形EFGH为矩形.

2 [2025驻马店十中期中]如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E,F分别是边BC,CD上的动点,且BE= CF,连接BF,DE,则BF+DE的最小值为( )
$A. 2\sqrt{3} B. 2\sqrt{5} C. 4\sqrt{3} D. 4\sqrt{5}$

答案：
D 如图1，连接AE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，又
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴AE=BF，
∴BF+DE=AE+DE.延长AB到点H，使得BH=AB，连接EH，DH，则EH=AE，
∴AE+DE=EH+DE≥DH.如图2，当D，E，H三点共线时，AE+DE取最小值，此时AE+DE=DH.在Rt△ADH中，DH=$\sqrt{AH^{2}+AD^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=4\sqrt{5}$，
∴BF+DE的最小值为$4\sqrt{5}$.

3 [2025晋中段考]如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,分别延长BD,DB至点E,F,使$BF= DE= \sqrt{2}.$连接AE,AF,CE,CF.
(1)求证：四边形AECF是菱形.
(2)求四边形AECF的面积.
(3)如果M为AF的中点,P为线段EF上的一动点,求PA+PM的最小值.

答案：

(1)证明：如图，连接AC，交BD于点O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，BO=DO，AO=CO.
∵BF=DE，
∴OD+DE=OB+BF，即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
又
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形.
(2)解：
∵四边形ABCD是边长为1的正方形，
∴AB=AD=1，
∴BD=AC=$\sqrt{2}$，
∴EF=3$\sqrt{2}$，
∴四边形AECF的面积为$\frac{1}{2}$AC·EF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=3.
(3)解：
∵四边形AECF是菱形，
∴点A与点C关于直线EF对称.
由
(2)知EF=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{2}$，
∴OF=$\frac{1}{2}$EF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
在Rt△OCF中，CF=$\sqrt{OC^{2}+OF^{2}}=\sqrt{5}$.
如图，连接CM，交EF于点P，连接PA.此时PA+PM的值最小(当C，P，M三点不共线时，PC+PM＞CM)，最小值等于CM的长，

过C作CN⊥AF于N，则AC²−AN²=CN²=CF²−NF².
设AN=x，
∴($\sqrt{2}$)²−x²=($\sqrt{5}$)²−($\sqrt{5}$−x)²，
解得x=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AF−AN=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∵CM²−MN²=AC²−AN²，
∴CM²−($\frac{3\sqrt{5}}{10}$)²=($\sqrt{2}$)²−($\frac{\sqrt{5}}{5}$)²，
∴CM=$\frac{3}{2}$，
故PA+PM的最小值为$\frac{3}{2}$.