《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

3 [2024朝阳三中月考]已知:正方形ABCD中,∠MAN= 45°,将∠MAN绕点A按顺时针方向旋转,它的两边分视频解题别交CB,DC(或它们的延长线)于点M,N.
(1)当∠MAN绕点A旋转到BM= DN时(如图1),求证:BM+DN= MN.
(2)当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时(如图2),线段BM,DN和MN之间的数量关系是____.
(3)当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时,猜想线段BM,DN和MN之间又有怎样的数量关系,并对你的猜想加以说明.

答案：

(1) 证明: 如图 1，延长 $ CB $ 至点 $ E $，使得 $ BE = DN $，连接 $ AE $。
易证 $ \triangle ABE \cong \triangle ADN $，
∴ $ \angle BAE = \angle DAN $，$ AE = AN $，
∴ $ \angle EAN = \angle BAE + \angle BAN = \angle DAN + \angle BAN = 90^{\circ} $，
∵ $ \angle MAN = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle EAM = \angle MAN $，
又
∵ $ AM = AM $，
∴ $ \triangle AEM \cong \triangle ANM $，
∴ $ ME = MN $，即 $ BM + BE = MN $，
∴ $ BM + DN = MN $。
(2) $ BM + DN = MN $
(3) 解: $ DN - BM = MN $。理由如下:
如图 2，在 $ DC $ 上截取 $ DE = BM $，连接 $ AE $。
易证 $ \triangle ADE \cong \triangle ABM $，
∴ $ \angle DAE = \angle BAM $，$ AE = AM $，
∴ $ \angle EAM = \angle BAM + \angle BAE = \angle DAE + \angle BAE = 90^{\circ} $，
∵ $ \angle MAN = 45^{\circ} $，
∴ $ \angle EAN = \angle MAN $，
又
∵ $ AN = AN $，
∴ $ \triangle MAN \cong \triangle EAN $，
∴ $ EN = MN $，即 $ DN - DE = MN $，
∴ $ DN - BM = MN $。

4 小明参加数学兴趣小组的探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2√2的正方形AEFG按图1放置,AD与AE在同一条直线上,AB与AG在同一条直线上.
(1)小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由;
(2)如图2,小明将正方形ABCD绕点A按逆时针旋转,当点B恰好落在线段DG上时,请你帮他求出此时BE的长.

答案：
解:
(1)
∵ 四边形 $ ABCD $，$ AEFG $ 均是正方形，
∴ $ AD = AB $，$ \angle DAG = \angle BAE = 90^{\circ} $，$ AG = AE $，
∴ $ \triangle ADG \cong \triangle ABE $，
∴ $ \angle AGD = \angle AEB $。
如图 1，延长 $ EB $ 交 $ DG $ 于点 $ H $。
∵ $ \angle AGD + \angle ADG = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle AEB + \angle ADG = 90^{\circ} $，
∴ $ \angle DHE = 180^{\circ} - ( \angle AEB + \angle ADG ) = 90^{\circ} $，
∴ $ DG \perp BE $。
(2)
∵ 四边形 $ ABCD $，$ AEFG $ 均是正方形，
∴ $ AD = AB $，$ \angle DAB = \angle GAE = 90^{\circ} $，$ AG = AE $，
∴ $ \angle DAB + \angle BAG = \angle GAE + \angle BAG $，
∴ $ \angle DAG = \angle BAE $，
∴ $ \triangle ADG \cong \triangle ABE $，
∴ $ DG = BE $。
如图 2，过点 $ A $ 作 $ AM \perp DG $ 于点 $ M $，则 $ \angle AMD = \angle AMG = 90^{\circ} $。
∵ $ BD $ 是正方形 $ ABCD $ 的对角线，
∴ $ \angle MDA = 45^{\circ} $。
在 $ \mathrm { Rt } \triangle AMD $ 中，$ \angle MDA = 45^{\circ} $，$ AD = 2 $，
可得 $ DM = AM = \sqrt { 2 } $。
在 $ \mathrm { Rt } \triangle AMG $ 中，$ GM = \sqrt { A G ^ { 2 } - A M ^ { 2 } } = \sqrt { 6 } $，
∴ $ DG = DM + GM = \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } $，
∴ $ BE = DG = \sqrt { 2 } + \sqrt { 6 } $。