《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024周口期末]如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,添加下列一个条件,能使矩形ABCD成为正方形的是 (B)

A. $ BD = AC $
B. $ DC = AD $
C. $ ∠AOB = 60° $
D. $ OD = CD $

答案： B 要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形；
(2)对角线互相垂直的矩形是正方形.因此，添加$DC = AD$，能使矩形$ABCD$成为正方形.

2 新趋势·条件开放[2024黑龙江龙东地区中考]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件AC=BD,使得菱形ABCD为正方形.

答案： (答案不唯一)$AC = BD$

如图,已知$ □ ABCD $的对角线AC,BD交于点O,添加条件后,$ □ ABCD $能够成为正方形的有①③④.(填所有正确的序号)
①$ AB = AD $,$ AC = BD $;②$ AB = BC $,$ AC ⊥ BD $;③$ ∠BAD = 90° $,$ AC ⊥ BD $;④$ ∠AOD = 90° $,$ AO = DO $.

答案： ①③④ ①因为$AB = AD$，所以$\square ABCD$为菱形，又因为$AC = BD$，所以$\square ABCD$为正方形，符合题意；②因为$AB = BC$，所以$\square ABCD$为菱形，但$AC\perp BD$不能证明$\square ABCD$为正方形，不符合题意；③因为$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\square ABCD$为矩形，又因为$AC\perp BD$，所以$\square ABCD$为正方形，符合题意；④因为$\angle AOD = 90^{\circ}$，所以$\square ABCD$为菱形，又因为$AO = DO$，所以$\square ABCD$为正方形，符合题意.
方法指导
证明一个四边形是正方形的常用思路
判定一个四边形是正方形有以下两种常用的证明思路：
(1)先证明这个四边形是矩形，再证明这个矩形有一组邻边相等或对角线互相垂直；
(2)先证明这个四边形是菱形，再证明这个菱形有一个角是直角或对角线相等.

4 教材P23例2变式[2024长春宽城区期末]如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,$ CE // BD $,$ DE // AC $.求证:四边形OCED是正方形.

证明：$\because CE// BD$，$DE// AC$，
$\therefore$四边形$OCED$是平行四边形.
在正方形$ABCD$中，$AC\perp BD$，$OD = OC$，
$\therefore\angle COD = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$OCED$是正方形.

答案： 证明：$\because CE// BD$，$DE// AC$，
$\therefore$四边形$OCED$是平行四边形.
在正方形$ABCD$中，$AC\perp BD$，$OD = OC$，
$\therefore\angle COD = 90^{\circ}$，$\therefore$四边形$OCED$是正方形.

5 [2024宿州宿城一中月考]如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且$ BE = DF $,$ OE = OA $.求证:四边形AECF是正方形.

证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\perp BD$，$OA = OC$，$OB = OD$.
$\because BE = DF$，$\therefore$$OE = OF$，$\therefore$四边形$AECF$是菱形.
$\because OE = OA = OF$，$\therefore OE = OF = OA = OC$，即$EF = AC$，
$\therefore$四边形$AECF$是正方形.
归纳总结
利用对角线证明正方形的方法
(1)证“四边形+对角线互相垂直平分且相等”；(2)证“平行四边形+对角线互相垂直且相等”；(3)证“矩形+对角线互相垂直”；(4)证“菱形+对角线相等”.

答案： 证明：$\because$四边形$ABCD$是菱形，
$\therefore AC\perp BD$，$OA = OC$，$OB = OD$.
$\because BE = DF$，$\therefore OE = OF$，$\therefore$四边形$AECF$是菱形.
$\because OE = OA = OF$，$\therefore OE = OF = OA = OC$，即$EF = AC$，
$\therefore$四边形$AECF$是正方形.
归纳总结
利用对角线证明正方形的方法
(1)证“四边形+对角线互相垂直平分且相等”；
(2)证“平行四边形+对角线互相垂直且相等”；
(3)证“矩形+对角线互相垂直”；
(4)证“菱形+对角线相等”.

6 [2024双鸭山期末]如图是一块矩形花圃ABCD,测得$ AB = 16m $,$ AD = 12m $,现将它规划设计,要在中间用篱笆围出一块四边形花圃EFGH种植玫瑰,要求点E,F,G,H依次是边AB,BC,CD,DA的中点,则需要篱笆的长度至少为 ( )


A. 20m
B. 28m
C. 40m
D. 44m

答案：
C 如图，连接$AC$，$BD$，$\because$四边形$ABCD$为矩形，$\therefore\angle DAB = 90^{\circ}$，$AC = BD$，$\therefore BD = \sqrt{AD^{2}+AB^{2}}=\sqrt{12^{2}+16^{2}} = 20(\text{m})$.

$\because$点$E$，$F$，$G$，$H$依次是边$AB$，$BC$，$CD$，$DA$的中点，$\therefore EH=\frac{1}{2}BD = 10\text{m}$.同理得$EF = FG = GH = 10\text{m}$，则需要篱笆的长度至少为$10 + 10 + 10 + 10 = 40(\text{m})$.

7 教材P9T4变式[2025清远期中改编]如图,AC,BD是四边形ABCD的对角线,点E,F分别是AD,BC的中点,点M,N分别是AC,BD的中点,连接EM,MF,FN,NE,要使四边形EMFN为正方形,则需添加的条件是 (AB=CD且AB⊥CD)
A. $ AB = CD $,$ AB ⊥ CD $
B. $ AB = CD $,$ AD = BC $
C. $ AB = CD $,$ AC ⊥ BD $
D. $ AB = CD $,$ AD // BC $

答案： A $\because$点$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，点$M$，$N$分别是$AC$，$BD$的中点，$\therefore EN$，$NF$，$FM$，$ME$分别是$\triangle ABD$，$\triangle BCD$，$\triangle ABC$，$\triangle ACD$的中位线，$\therefore EN// AB// FM$，$ME// CD// NF$，$EN=\frac{1}{2}AB = FM$，$ME=\frac{1}{2}CD = NF$，$\therefore$四边形$EMFN$为平行四边形.当$AB = CD$时，$EN = FM = ME = NF$，$\therefore$平行四边形$EMFN$是菱形；当$AB\perp CD$时，$EN\perp ME$，则$\angle MEN = 90^{\circ}$，$\therefore$菱形$EMFN$是正方形.