《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024镇江期中]如图是某年6月的月历表,在此月历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,设这个最小数为x,则下列方程正确的是 (D)

A. $ x+(x+7)= 192 $
B. $ x(x+7)= 192 $
C. $ x+(x+16)= 192 $
D. $ x(x+16)= 192 $

答案： D 由圈出的9个数可知,最大数与最小数的差为$22-6=16$,因为这个最小数为x,所以圈出的9个数中最大数为$x+16$,根据题意,得$x(x+16)=192$.

两个数的差等于4,积等于45,则这两个数为 (5,9或-9,-5)
A. 5,-9
B. 5,9
C. -5,-9
D. 5,9或-5,-9

答案： D 设这两个数中的较大数为x,则较小数为$(x-4)$.由题意,得$x(x-4)=45$,整理,得$x^{2}-4x-45=0$,解得$x_{1}=9$,$x_{2}=-5$.当$x=9$时,较小数为5;当$x=-5$时,较小数为-9.所以这两个数为5,9或-9,-5.

3 新情境[2025深圳宝安中学期中]有一种“微信点名”活动,需要回答一系列问题,并将问题和自己的答案在朋友圈中发布,同时还规定“@”一定数量的其他人,邀请他们也参与活动,小智被邀请参加一次“微信点名”活动,他决定参与并按规定“@”其他人,如果收到小智邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人,且从小智开始算起,转发两轮后共有111人被邀请参与该活动.设参与该活动后规定“@”x人,则可列出的方程为 (1+x+x²=111)
A. $ x^{2}= 111 $
B. $ 1+x^{2}= 111 $
C. $ 1+x+x^{2}= 111 $
D. $ (1+x)^{2}= 111 $

答案： C 设参与该活动后规定“@”x人,则第一轮“@”x人,第二轮“@”$x^{2}$人,由题意,得$1+x+x^{2}=111$.

4 [2025天津和平区期中]有一人患了流感,经过两轮传染后,共有121人患了流感,每轮传染中平均每人传染了x人,则下列结论错误的是 (D)
A. 第一轮后有$ (x+1) $人患了流感
B. 第二轮又增加$ (x+1)\cdot x $人患流感
C. 依题意可得方程$ (x+1)^{2}= 121 $
D. 不考虑其他因素,经过三轮共有1210人感染

答案： D 患流感的人把病毒传染给别人,自己仍然患病,包括在总数中.因为每轮传染中平均一人传染了x人,所以第一轮传染了x人,第一轮后共有$(x+1)$人患流感,故A项正确,不符合题意;第二轮作为传染源的有$(x+1)$人,则第二轮增加$x(x+1)$人患流感,故B项正确,不符合题意;根据题意列方程得,$1+x+x(x+1)=121$,即$(x+1)^{2}=121$,故C项正确,不符合题意;解$(x+1)^{2}=121$,得$x_{1}=10$,$x_{2}=-12$(舍去),经检验,$x=10$符合题意,故平均一人传染了10人,经过三轮传染后患上流感的人数为$121+10×121=1331$,故D项错误,符合题意.

5 [2024宿州埇桥区期中]某校九年级举行了一次学生篮球赛,比赛以班级为单位采用单循环制,要求每两个班级之间赛一场.若整个比赛一共赛了45场,则参赛的班级数为 (C)
A. 8
B. 9
C. 10
D. 15

答案： C 设参加比赛的班级有x个,每个班同其他班都要赛一场,则每个班赛$(x-1)$场,共赛$x(x-1)$场.
∵采用单循环制,要求每两个班级之间赛一场,
∴共比赛$\frac {x(x-1)}{2}$场,$\therefore \frac {x(x-1)}{2}=45$,$\therefore x^{2}-x-90=0$,$\therefore (x+9)(x-10)=0$,解得$x_{1}=-9$(舍去),$x_{2}=10$,即参赛的班级数为10.

6 教材P53随堂练习变式如图,某海关缉私艇在点O处发现其正北方向30n mile的A处有一艘可疑船只,测得它正以60n mile/h的速度向正东方向航行,随即调整方向,以75n mile/h的速度准备将其拦截.问:需要多长时间缉私艇能在B处拦截住可疑船只?

解:设需要xh缉私艇能在B处拦截住可疑船只,则$OB=75x$n mile,$AB=60x$n mile,在$Rt△ABO$中,$∠A=90^{\circ }$,由勾股定理,得$OB^{2}=OA^{2}+AB^{2}$,即$(75x)^{2}=30^{2}+(60x)^{2}$,解得$x_{1}=\frac {2}{3}$,$x_{2}=-\frac {2}{3}$.因为$x＞0$,所以$x=\frac {2}{3}$.答:需要$\frac {2}{3}$h缉私艇能在B处拦截住可疑船只.

答案： 解:设需要xh缉私艇能在B处拦截住可疑船只,则$OB=75x$n mile,$AB=60x$n mile,在$Rt△ABO$中,$∠A=90^{\circ }$,由勾股定理,得$OB^{2}=OA^{2}+AB^{2}$,即$(75x)^{2}=30^{2}+(60x)^{2}$,解得$x_{1}=\frac {2}{3}$,$x_{2}=-\frac {2}{3}$.因为$x＞0$,所以$x=\frac {2}{3}$.答:需要$\frac {2}{3}$h缉私艇能在B处拦截住可疑船只.

7 如图,在菱形ABCD中,AC,BD交于点O,$ AC= 8 \mathrm{cm} $,$ BD= 6 \mathrm{cm} $,动点M从点A出发,沿AC的方向以2cm/s的速度运动到点C,动点N从点B出发,沿BO的方向以1cm/s的速度运动到点O,当其中一点停止运动时,另一点也随即停止运动.若点M,N同时出发,则出发2秒时,$ \triangle MCN 的面积为 2 \mathrm{cm}^{2} $?

答案： 解:设出发xs时,$△MCN$的面积为$2cm^{2}$,则$x＜3$.根据题意,得$\frac {(8-2x)(3-x)}{2}=2$,解得$x_{1}=2$,$x_{2}=5$(舍去).答:出发2s时,$△MCN$的面积为$2cm^{2}$.
归纳总结
在几何动点问题中列一元二次方程的方法
①利用几何图形的面积公式列一元二次方程;
②利用勾股定理列一元二次方程.注意,解决这类问题的关键是找到因点的运动变化引起的条件或结论的变化,表示出点在静止状态时相应线段的长度.