《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2024 重庆云枫教育集团入学考试]如图,四边形 ABCD 的对角线互相平分,要使它成为矩形,需要添加的条件是(D)

A. $ AB // CD $
B. $ AD = BC $
C. $ ∠AOB = 45^\circ $
D. $ ∠ABC = 90^\circ $

答案： D 因为四边形ABCD的对角线互相平分，所以四边形ABCD为平行四边形。根据矩形的定义知，添加D项中的条件后，四边形ABCD是矩形。

2 [2024 成都中考]如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,则下列结论一定正确的是(C)

A. $ AB = AD $
B. $ AC ⊥ BD $
C. $ AC = BD $
D. $ ∠ACB = ∠ACD $

答案： C
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC = BD，∠ADC = 90°，AD = BC，AD//BC，OA = $\frac{1}{2}$AC，
∴AB = AD，AC⊥BD，∠ACB = ∠ACD不一定成立，AC = BD一定成立。

如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,$ ∠ABD = 60^\circ $,$ AB = 2 $,则 AC 的长为(4)
A. 6
B. 5
C. 4
D. 3

答案： C 优解
∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，
∴∠BAD = 90°，AC = BD，又
∵∠ABD = 60°，
∴∠ADB = 30°，
∴AC = BD = 2AB = 4。
通解
∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O，AB = 2，
∴OA = OB = OC = OD。
∵∠ABD = 60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴OA = OB = AB = 2，
∴OC = OA = 2，
∴AC = OA + OC = 4。

4 [2025 咸阳段考]点 O 是矩形 ABCD 的对称中心,连接 OA,OB,若 $ ∠OAD = 20^\circ $,则 $ ∠OBA $的度数是70°。

答案： 70°
∵点O是矩形ABCD的对称中心，
∴OA = OB，
∴∠OAB = ∠OBA。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD = 90°。
∵∠OAD = 20°，
∴∠OAB = 90° - 20° = 70°，
∴∠OBA = 70°。

如图,在矩形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E 是边 AD 的中点,点 F 在对角线 AC 上,且 $ AF = \frac{1}{4}AC $,连接 EF。若 $ AC = 10 $,则 $ EF = $$\frac{5}{2}$。

答案： $\frac{5}{2}$ 在矩形ABCD中，AO = OC = $\frac{1}{2}$AC，BD = AC = 10。
∵AF = $\frac{1}{4}$AC，
∴AF = $\frac{1}{2}$AO，
∴点F为AO的中点，又
∵点E为边AD的中点，
∴EF为△AOD的中位线，
∴EF = $\frac{1}{2}$OD = $\frac{1}{4}$BD = $\frac{5}{2}$。

6 [2023 台州中考]如图,矩形 ABCD 中,$ AB = 4 $,$ AD = 6 $。在边 AD 上取一点 E,使 $ BE = BC $,过点 C 作 $ CF ⊥ BE $,垂足为点 F,则 BF 的长为______2$\sqrt{5}$。

答案： 2$\sqrt{5}$
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，BC = AD = 6，∠A = 90°，
∴∠AEB = ∠FBC，
∵CF⊥BE，
∴∠CFB = 90°，在△ABE和△FCB中，$\begin{cases}\angle A = \angle CFB\\\angle AEB = \angle FBC\\BE = CB\end{cases}$，
∴△ABE≌△FCB (AAS)，
∴FC = AB = 4。在Rt△FCB中，BF = $\sqrt{BC^{2}-FC^{2}}$ = $\sqrt{6^{2}-4^{2}}$ = 2$\sqrt{5}$。

7 [2024 陕西中考]如图,四边形 ABCD 是矩形,点 E 和点 F 在边 BC 上,且 $ BE = CF $。求证：$ AF = DE $。

证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB = DC，∠B = ∠C = 90°。∵BE = CF，∴BE + EF = CF + EF，即BF = CE。在△ABF和△DCE中，$\begin{cases}AB = DC\\\angle B = \angle C\\BF = CE\end{cases}$，∴△ABF≌△DCE(SAS)，∴AF = DE。

答案： 证明：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB = DC，∠B = ∠C = 90°。
∵BE = CF，
∴BE + EF = CF + EF，即BF = CE。在△ABF和△DCE中，$\begin{cases}AB = DC\\\angle B = \angle C\\BF = CE\end{cases}$，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴AF = DE。

8 新情境 [2025 西安期中]如图,小宇用刻度尺测量了一个直角三角形斜边的长度。已知 $ ∠ACB = 90^\circ $,点 D 为边 AB 的中点,且点 A,B 对应的刻度分别为 2,8,则 CD 的长为(3cm)

A. 4 cm
B. 3 cm
C. 3.5 cm
D. 4.5 cm

答案： B
∵点A，B对应的刻度分别为2，8，
∴AB = 8 - 2 = 6(cm)，
∵∠ACB = 90°，点D为边AB的中点，
∴CD = $\frac{1}{2}$AB = 3cm。
归纳总结
直角三角形斜边上的中线的性质的几点说明
(1) 直角三角形斜边上的中线的性质定理是由矩形的性质定理推出的，性质成立的前提是在直角三角形中，对一般的三角形不适用。
(2) 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，因此该定理可以用来解决有关线段倍分的问题。

9 一题多解 [2024 石家庄五十四中期末]如图,在 $ △ABC $中,$ ∠ACB = 90^\circ $,$ ∠B = 28^\circ $,若 CD 是 $ △ABC $的中线,则 $ ∠ACD $的度数为(C)

A. $ 42^\circ $
B. $ 52^\circ $
C. $ 62^\circ $
D. $ 72^\circ $

答案： C 解法一
∵∠ACB = 90°，∠B = 28°，
∴∠A = 62°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD = AD，
∴∠ACD = ∠A = 62°。
解法二
∵∠ACB = 90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD = BD，
∴∠DCB = ∠B = 28°，
∴∠ACD = ∠ACB - ∠DCB = 62°。