《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

1 [2025 宝鸡凤翔区期中]如图,点 B 是线段 AC 上的一点,且 $ AB:BC = 2:3 $,则 $ AB:AC $ 等于(2:5)

A. $ 2:5 $
B. $ 5:2 $
C. $ 3:5 $
D. $ 5:3 $

答案： A 由 $ AB:BC = 2:3 $，可设 $ AB = 2x $，则 $ BC = 3x $，$\therefore AC = AB + BC = 5x$，$\therefore AB:AC = 2:5$。

2 正方形的边长与其对角线长的比为$ 1:\sqrt{2} $。

答案： $ 1:\sqrt{2} $ 设正方形的边长为 1，则该正方形的对角线长为 $\sqrt{2}$，所以正方形的边长与其对角线长的比为 $ 1:\sqrt{2} $。

3 [2025 百色田阳区期中]下列各线段的长度(单位：cm)成比例的是(D)
A. $ 2,5,6,8 $
B. $ 1,2,3,4 $
C. $ 3,6,7,9 $
D. $ 3,6,9,18 $

答案： D $\because \frac{2}{5} \neq \frac{6}{8}$，$\frac{1}{2} \neq \frac{3}{4}$，$\frac{3}{6} \neq \frac{7}{9}$，$\therefore$ A 项、B 项、C 项均不符合题意，$\because \frac{3}{6} = \frac{9}{18}$，$\therefore$ D 项符合题意。

4 已知四条线段 $ a = 0.5m $,$ b = 25cm $,$ c = 0.2m $,$ d = 10cm $,试判断这四条线段是不是成比例线段。
解：$\because a = 0.5m = 50cm$，$b = 25cm$，$c = 0.2m = 20cm$，$d = 10cm$，$\therefore \frac{d}{c} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，$\frac{b}{a} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$，$\therefore \frac{d}{c} = \frac{b}{a}$，$\therefore$ 线段 $ d$，$c$，$b$，$a$ 成比例，$\therefore$ 这四条线段是成比例线段。
解题通法
判断四条线段是否为成比例线段的方法
先将四条线段的长度单位统一，再将四条线段的长度按从小到大或从大到小的顺序排列，判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比，相等则是成比例线段；否则，不是成比例线段。

答案： 解：$\because a = 0.5m = 50cm$，$b = 25cm$，$c = 0.2m = 20cm$，$d = 10cm$，$\therefore \frac{d}{c} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$，$\frac{b}{a} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$，$\therefore \frac{d}{c} = \frac{b}{a}$，$\therefore$ 线段 $ d$，$c$，$b$，$a$ 成比例，$\therefore$ 这四条线段是成比例线段。
解题通法
判断四条线段是否为成比例线段的方法
先将四条线段的长度单位统一，再将四条线段的长度按从小到大或从大到小的顺序排列，判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比，相等则是成比例线段；否则，不是成比例线段。

5 [2023 金昌中考]若 $ \frac{a}{2} = \frac{3}{b} $,则 $ ab = $(A)
A. 6
B. $ \frac{3}{2} $
C. 1
D. $ \frac{2}{3} $

答案： A

6 [2025 晋中榆次区期中]已知线段 $ a,b,c,d $ 是成比例线段,其中 $ b = 3cm $,$ c = 8cm $,$ d = 12cm $,则 $ a = $2cm。

答案： 2 $\because$ 线段 $ a$，$b$，$c$，$d$ 是成比例线段，$\therefore \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，$\therefore ad = bc$，$\because b = 3cm$，$c = 8cm$，$d = 12cm$，$\therefore 12a = 24$，解得 $ a = 2cm$。

7 [2024 邵阳期中]已知 $ \frac{a}{2} = \frac{b}{5} $,则 $ \frac{a + b}{a - b} $ 的值是$ -\frac{7}{3} $。

答案： $ -\frac{7}{3} $ 设 $\frac{a}{2} = \frac{b}{5} = k$，则 $ a = 2k$，$b = 5k$，$\therefore \frac{a + b}{a - b} = \frac{2k + 5k}{2k - 5k} = \frac{7k}{-3k} = -\frac{7}{3}$。

8 一题多解 若 $ \frac{a}{b} = \frac{3}{4} $,且 $ a + b = 14 $,则 $ 2a - b $ 的值是(4)
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8

答案： B 解法一 $\because \frac{a}{b} = \frac{3}{4}$，$\therefore$ 设 $ a = 3k$，则 $ b = 4k$。由 $ a + b = 14$，得 $ 3k + 4k = 14$，解得 $ k = 2$，$\therefore a = 6$，$b = 8$，故 $ 2a - b = 12 - 8 = 4$。
解法二 $\because \frac{a}{b} = \frac{3}{4}$，$\therefore a = \frac{3}{4}b$。$\because a + b = 14$，$\therefore \frac{3}{4}b + b = 14$，解得 $ b = 8$，则 $ a = 6$，故 $ 2a - b = 12 - 8 = 4$。

如果在比例尺为 $ 1:1000000 $ 的地图上,A,B 两地的图上距离是 $ 4.2cm $,那么 A,B 两地的实际距离是______42km。

答案： 42 设 $ A$，$B$ 两地的实际距离是 $ x cm$，$\because$ 比例尺为 $ 1:1000000$，$A$，$B$ 两地的图上距离是 $ 4.2cm$，$\therefore \frac{1}{1000000} = \frac{4.2}{x}$，解得 $ x = 4200000$，$\because 4200000cm = 42km$，$\therefore A$，$B$ 两地的实际距离是 $ 42km$。
策略点拨
比例尺 $ = \frac{\text{图上距离}}{\text{实际距离}}$，在比例尺、图上距离和实际距离三个量中，知道其中任意两个量便可求出第三个量，但应注意单位的统一。

10 易错题 教材 P79 随堂练习 T3 变式 已知三条线段 $ a,b,c $ 的长分别为 $ 1cm $,$ 2cm $,$ \sqrt{3}cm $,如果线段 $ d $ 与它们构成成比例线段,那么线段 $ d $ 的长为______$ 2\sqrt{3}cm $ 或 $ \frac{\sqrt{3}}{2}cm $ 或 $ \frac{2\sqrt{3}}{3}cm $。

答案： $ 2\sqrt{3}cm $ 或 $ \frac{\sqrt{3}}{2}cm $ 或 $ \frac{2\sqrt{3}}{3}cm $ 当 $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$，即 $\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{d}$ 时，$d = 2\sqrt{3}cm$，此时 $ a$，$b$，$c$，$d$ 是成比例线段；当 $\frac{a}{b} = \frac{d}{c}$，即 $\frac{1}{2} = \frac{d}{\sqrt{3}}$ 时，$d = \frac{\sqrt{3}}{2}cm$，此时 $ a$，$b$，$d$，$c$ 是成比例线段；当 $\frac{a}{d} = \frac{b}{c}$，即 $\frac{1}{d} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ 时，$d = \frac{\sqrt{3}}{2}cm$，此时 $ a$，$d$，$b$，$c$ 是成比例线段；当 $\frac{d}{a} = \frac{b}{c}$，即 $\frac{d}{1} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ 时，$d = \frac{2\sqrt{3}}{3}cm$，此时 $ d$，$a$，$b$，$c$ 是成比例线段。综上，线段 $ d$ 的长为 $ 2\sqrt{3}cm $ 或 $ \frac{\sqrt{3}}{2}cm $ 或 $ \frac{2\sqrt{3}}{3}cm $。
归纳总结
线段的比和成比例线段的区别与联系
（1）线段的比是指两条线段之间的比的关系，成比例线段是指四条线段之间的关系；（2）线段的比有顺序性，成比例线段也有顺序性，如 $ a$，$b$，$c$，$d$ 是成比例线段，那么只能写成 $ a:b = c:d $ 或 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，不能随意更改位置，若写成 $ a:b = d:c $ 就是错误的。

书画装裱,是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏,是我国具有民族传统的一门特殊艺术。如图,一幅书画在装裱前的大小是 $ 1.2m×0.8m $。装裱后,上、下、左、右边衬的宽度分别是 $ a m $,$ b m $,$ c m $,$ d m $。若装裱后 $ AB $ 与 $ AD $ 的比是 $ 16:10 $,且 $ a = b $,$ c = d $,$ c = 2a $,求四周边衬的宽度。
上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m，0.1m，0.2m，0.2m。

答案： 解：由题意，得 $ AB = (1.2 + c + d)m $，$ AD = (0.8 + a + b)m $，$\because a = b$，$c = d$，$c = 2a$，$\therefore AB = (1.2 + c + d)m = (1.2 + 4a)m $，$ AD = (0.8 + a + b)m = (0.8 + 2a)m $，$\because AB$ 与 $ AD$ 的比是 $ 16:10 $，$\therefore (1.2 + 4a):(0.8 + 2a) = 16:10 $，$\therefore a = 0.1 $，$\therefore b = 0.1 $，$c = d = 0.2 $，$\therefore$ 上、下、左、右边衬的宽度分别是 $ 0.1m $，$ 0.1m $，$ 0.2m $，$ 0.2m $。