《2025年一遍过九年级初中数学上册北师大版》

9 [2024临夏州中考]如图,O是坐标原点,菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上,顶点C的坐标为(3,4),则顶点A的坐标为 ( )


A. $ (-4,2) $
B. $ (-\sqrt{3},4) $
C. $ (-2,4) $
D. $ (-4,\sqrt{3}) $

答案：
C 如图，过点 C 作 $ CN \perp x $ 轴于 N，过点 A 作 $ AM \perp x $ 轴于点 M，
∵ 点 C 的坐标为 $ ( 3,4 ) $，
∴ $ ON = 3 $，$ CN = 4 $，
∴ $ OC = \sqrt{ON^{2} + CN^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5 $。
∵ 四边形 ABOC 是菱形，
∴ $ AC = OC = 5 $，$ AC // BO $，
∴ 点 A 的坐标为 $ ( - 2,4 ) $。

10 [2024德州月考]如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,$ AC = 4 $,$ BD = 16 $,将$ △ABO $沿AC方向平移,得到$ △A'B'O' $. 当点A的对应点$ A' $与点C重合时,点A与点$ B' $之间的距离为 (C)
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12

答案： C 由菱形的性质可知 $ OB = 8 $，$ OA = 2 $，$ AC \perp BD $。由平移的性质，得 $ O'B' = OB = 8 $，$ O'A = 3OA = 6 $，$ \angle AO'B' = \angle AOB = 90^{\circ} $，
∴ $ AB' = \sqrt{O'B'^{2} + O'A^{2}} = \sqrt{8^{2} + 6^{2}} = 10 $。

11 一题多解[2025汕头五校联考]如图,AC为菱形ABCD的对角线,$ ∠ACD = 30^{\circ} $,过点D作$ DE ⊥ BC $,垂足为点E,则$ \frac{CE}{AD} = $ (B)

A. $ \frac{1}{3} $
B. $ \frac{1}{2} $
C. $ \frac{\sqrt{3}}{3} $
D. $ \frac{\sqrt{3}}{2} $

答案： B
解法一：因为四边形 ABCD 是菱形，所以 $ CD = AD $，AC 平分 $ \angle BCD $。因为 $ \angle ACD = 30^{\circ} $，所以 $ \angle BCD = 2 \angle ACD = 60^{\circ} $。因为 $ DE \perp BC $，所以 $ \angle DEC = 90^{\circ} $，所以在 $ \mathrm{Rt} \triangle CDE $ 中，$ \angle CDE = 30^{\circ} $，所以 $ CE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}AD $，即 $ \frac{CE}{AD} = \frac{1}{2} $。
解法二：连接 BD，易证 $ \triangle BCD $ 是等边三角形。因为 $ DE \perp BC $，所以 $ BE = CE = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2}AD $，即 $ \frac{CE}{AD} = \frac{1}{2} $。

12 [2024成都浦江中学期中]如图,在菱形ABCD中,AC与BD相交于点O,AB的垂直平分线EF交AC于点F,交AB于点E,连接DF. 若$ ∠BAD = 80^{\circ} $,则$ ∠CDF $的度数为______.

答案：
$ 60^{\circ} $ 如图，连接 BF，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，$ \angle BAD = 80^{\circ} $，
∴ $ \angle DAC = 40^{\circ} $，$ \angle ADC = 100^{\circ} $，$ AC \perp BD $，$ DO = BO $，
∴ $ BF = DF $。
∵ EF 垂直平分 AB，
∴ $ AF = BF $，
∴ $ AF = DF $，
∴ $ \angle ADF = \angle FAD = 40^{\circ} $，
∴ $ \angle CDF = 60^{\circ} $。

归纳总结
菱形的性质在解题中的应用
（1）菱形的每一条对角线均平分一组对角，可以用来证明角相等；（2）菱形的对角线互相垂直，可以用来证明线段垂直；（3）一个内角是 $ 60^{\circ} $ 的菱形，较短的对角线将其分成两个全等的等边三角形；（4）两条对角线将菱形分为四个全等的直角三角形。这是解决与菱形有关的问题时常用到的结论。

13 [2024石嘴山八中期中]如图,在菱形ABCD中,$ AB = 2 $,$ ∠ABC = 120^{\circ} $,E是AB的中点,P是对角线AC上的一个动点,则$ PE + PB $的最小值是______.

答案：
$ \sqrt{3} $ 有关直线同侧的折线段长度和最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题，即将点 B 借助菱形的对称性转移到点 D。如图，连接 DE 交 AC 于点 P，易知 $ PB = PD $，此时 $ PE + PB $ 最小，最小值为 DE 的长。因为四边形 ABCD 是菱形，所以 $ AD = AB = 2 $。因为 E 是 AB 的中点，所以 $ AE = \frac{1}{2}AB = 1 $。易知 DE 垂直平分 AB，在 $ \mathrm{Rt} \triangle ADE $ 中，$ DE = \sqrt{AD^{2} - AE^{2}} = \sqrt{3} $，即 $ PE + PB $ 的最小值为 $ \sqrt{3} $。

14 推理能力[2024九江十一中月考]在菱形ABCD中,$ ∠ABC = 60^{\circ} $,E是对角线AC上一点,F是线段BC的延长线上一点,且$ CF = AE $,连接BE,EF. 如图1,当点E是线段AC的中点时,易证$ BE = EF $.

(1)如图2,当点E不是线段AC的中点,其他条件不变时,请你判断结论:$ BE = EF $______成立.(填“成立”或“不成立”)
(2)如图3,当点E是线段AC的延长线上一点,其他条件不变时,结论$ BE = EF $是否成立? 若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.

答案： 解：（1）成立
过点 E 作 $ EG // BC $ 交 AB 于点 G。
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ $ AB = BC $。
又
∵ $ \angle ABC = 60^{\circ} $，
∴ $ \triangle ABC $ 是等边三角形。
∴ $ AB = AC $，$ \angle BAC = \angle ACB = 60^{\circ} $。
∵ $ EG // BC $，
∴ $ \angle AGE = \angle ABC = 60^{\circ} $。
又
∵ $ \angle BAC = 60^{\circ} $，
∴ $ \triangle AGE $ 是等边三角形。
∴ $ AG = AE = GE $，
∴ $ BG = EC $。
∵ $ CF = AE $，
∴ $ GE = CF $。
∵ $ \angle AGE = \angle ACB = 60^{\circ} $，
∴ $ \angle BGE = \angle ECF = 120^{\circ} $。
∴ $ \triangle BGE \cong \triangle ECF $，
∴ $ BE = EF $。
（2）结论 $ BE = EF $ 成立。证明如下：
过点 E 作 $ EQ // BC $ 交 AB 的延长线于点 Q。
∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴ $ AB = BC $。
又
∵ $ \angle ABC = 60^{\circ} $，
∴ $ \triangle ABC $ 是等边三角形。
∴ $ AB = AC $，$ \angle BAC = \angle ACB = 60^{\circ} $。
∵ $ EQ // BC $，
∴ $ \angle AQE = \angle ABC = 60^{\circ} $。
又
∵ $ \angle BAC = 60^{\circ} $，
∴ $ \triangle AQE $ 是等边三角形。
∴ $ AQ = AE = QE $，
∴ $ BQ = EC $。
∵ $ CF = AE $，
∴ $ QE = CF $。
又
∵ $ \angle ECF = \angle ACB = 60^{\circ} $，
∴ $ \angle BQE = \angle ECF $。
∴ $ \triangle BQE \cong \triangle ECF $，
∴ $ BE = EF $。