《2025年同步精练广东人民出版社七年级数学下册北师大版》

例 2 明明与亮亮玩摸球游戏：在一个不透明的袋子中放有 7 个除标注数字不同其他完全一样的球，分别标有 1，2，3，4，5，6，7 七个数字，明明与亮亮轮流坐庄，从袋中摸出一球，记下号码，然后放回，规定：若摸到的球上的数字大于 4，则明明胜，否则亮亮胜。你认为这个游戏公平吗？请说明理由。若不公平，修改游戏规则使游戏公平。

答案： 解：不公平。理由：$P(明明胜)=\frac{3}{7}$，$P(亮亮胜)=\frac{4}{7}$。两者获胜概率不相等，故不公平。 修改规则：若摸到的球上的数字大于4，则明明胜；若摸到的球上的数字小于4，则亮亮胜。（符合题意即可）

2.（2024 宝丰期末）数学老师在黑板上画出一个 3×3 表格，并设计双人游戏：一人在黑板上指出数字，另一人蒙眼猜数字。若所猜数字与指出的数字相符，则猜数的人获胜，否则指数的人获胜。

猜数字的方法从以下三种中选一种：
①猜“是奇数”或“是偶数”；
②猜“是 3 的倍数”或“不是 3 的倍数”；
③猜“是大于 5 的数”或“不是大于 5 的数”。
（1）如果轮到你猜数，为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎么猜？说明理由。
（2）请你设计第四种猜数方法，使猜数者获胜概率更大。

答案： 解：（1）选择方法②，猜“不是3的倍数”。理由如下： 由表格数据可得“是奇数”的概率是$\frac{5}{9}$，“是偶数”的概率是$\frac{4}{9}$；“是3的倍数”的概率是$\frac{1}{3}$，“不是3的倍数”的概率是$\frac{2}{3}$；“是大于5的数”的概率是$\frac{4}{9}$，“不是大于5的数”的概率是$\frac{5}{9}$。 因为$\frac{1}{3}＜\frac{4}{9}＜\frac{5}{9}＜\frac{2}{3}$， 所以为了尽可能获胜，我将选择方法②，猜“不是3的倍数”。 （2）猜“大于1”或“不大于1”中的“大于1”（答案不唯一）。

1. 用 8 个球设计一个摸球游戏，使摸到白球与摸不到白球的可能性一样大，摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，则满足上述条件的白、红、黄球的个数可能为（ ）
A. 4，2，2
B. 3，2，3
C. 5，2，1
D. 4，3，1

答案： D

2. 现有足够多除颜色外均相同的球，请你从中选 12 个球设计摸球游戏（要求写出设计方案）。
（1）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等。
（2）使摸到红球、白球、黑球的概率都相等。
（3）使摸到红球的概率和摸到白球的概率相等，且都小于摸到黑球的概率。

答案： 解：（1）12个球中，有6个红球、6个白球，从中任意摸出一球。 （2）12个球中，有4个红球、4个白球、4个黑球，从中任意摸出一球。 （3）12个球中，有3个红球、3个白球、6个黑球，从中任意摸出一球。（答案不唯一）