《2025年同步精练广东人民出版社七年级数学下册北师大版》

3. 如图（1）所示，从边长为$a$的正方形纸片中剪去一个边长为$b$的小正方形，再沿着线段$AB$剪开，把剪成的两张纸片拼成如图（2）所示的等腰梯形。
（1）设图（1）中阴影部分面积为$S_{1}$，图（2）中阴影部分面积为$S_{2}$，请直接用含$a$，$b$的代数式表示$S_{1}$，$S_{2}$；
（2）请写出上述过程所揭示的乘法公式。

答案： 解：\n
(1) $S_{1} = a^{2} - b^{2}$，$S_{2} = \frac{1}{2}(2b + 2a)(a - b) = (a + b)(a - b)$。\n
(2) $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$。

例2 用平方差公式计算：
（1）$198×202$；
（2）$101^{2}-1$。

答案： 解：\n
(1) $198×202=(200 - 2)×(200 + 2)=200^{2} - 2^{2}=40000 - 4 = 39996$。\n
(2) $101^{2} - 1=(101 - 1)(101 + 1)=100×102 = 10200$。

4. 将$204×196$变形更易于简便计算的是（ ）
A. $(203 + 1)×(195 + 1)$
B. $(202 + 2)×(200 - 4)$
C. $(200 + 4)×(200 - 4)$
D. $(210 - 6)×(200 - 4)$

答案： C

5. 用平方差公式简便计算：
（1）$195×205$；
（2）$9×11×101$。

答案： 解： -
(1) $195×205=(200 - 5)×(200 + 5)=200^{2} - 5^{2}=40000 - 25 = 39975$。 -
(2) $9×11×101=(10 - 1)(10 + 1)(100 + 1)=(100 - 1)(100 + 1)=100^{2} - 1 = 9999$。

6. 先化简，再求值：$(2x - y)(2x + y)-(3x + 2y)(3x - 2y)$，其中$x = -1$，$y = 2$。

答案： 解：原式 $= -5x^{2} + 3y^{2}$。当 $x = -1$，$y = 2$ 时，原式 $= -5×(-1)^{2} + 3×2^{2} = 7$。

1. 数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形。如图所示，现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是$\underline{\quad\quad}$。（请填上正确的序号）

答案： ①②

2. [代数推理]试说明：对于任意整数$n$，整式$(3n + 1)(3n - 1)-(3 - n)(3 + n)$的值都能被10整除。

答案： 解：原式 $=(3n)^{2} - 1^{2} - (3^{2} - n^{2})=9n^{2} - 1 - 9 + n^{2}=10n^{2} - 10 = 10(n^{2} - 1)$。因为 $n$ 为整数，所以 $10(n^{2} - 1)$ 能被10整除，所以对于任意整数 $n$，整式 $(3n + 1)·(3n - 1) - (3 - n)(3 + n)$ 的值都能被10整除。