《2025年同步精练广东人民出版社七年级数学下册北师大版》

例1 - 1 简便计算：
（1）$103^{2}$；
（2）$198^{2}$；
（3）$200^{2}-400×199 + 199^{2}$。

答案： 解： -
(1) $103^{2}=(100 + 3)^{2}=100^{2} + 2×100×3 + 3^{2}=10609$。 -
(2) $198^{2}=(200 - 2)^{2}=200^{2} - 2×200×2 + 2^{2}=39204$。 -
(3) $200^{2} - 400×199 + 199^{2}=200^{2} - 2×200×199 + 199^{2}=(200 - 199)^{2}=1$。

例1 - 2 先化简，再求值：$(a - 3b)(a + 3b)+(a - 3b)^{2}$，其中$a = -3$，$b=\frac{1}{3}$。

答案： 解：原式 $= 2a^{2} - 6ab$。当 $a = -3$，$b = \frac{1}{3}$ 时，原式 $= 2×(-3)^{2} - 6×(-3)×\frac{1}{3} = 24$。

1. （2024唐山一模）计算：$95^{2}+10×95 + 5^{2}=\underline{\quad\quad}$。

答案： 10000

4. 若$a$，$b$是某长方形的长和宽，且有$(a + b)^{2}=16$，$(a - b)^{2}=4$，则该长方形的面积为（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

答案： A

5. （2024慈利期末）若$a + b = 4$，$ab = 3$，则$(a - b)^{2}=\underline{\quad\quad}$。

答案： 4

6. 若$m-\frac{1}{m}=5$，则$m^{2}+\frac{1}{m^{2}}$的值为$\underline{\quad\quad}$。

答案： 27

例3 （2024瑞安期中）某校七（1）班同学参加了学校“科技点亮未来”的创新比赛，用硬纸板制作了宣传版画，它由一个三角形、两个梯形组成，相关尺寸如图所示。
（1）用含$a$，$b$的代数式表示宣传版画的总面积（结果需化简）；
（2）若$a + b = 7$，$ab=\frac{45}{4}$，求宣传版画的总面积。

答案： 解： -
(1)宣传版画的总面积为 $\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}(b + 3b)·\frac{3}{2}b + \frac{1}{2}(b + 6a - 2b)·a = 3a^{2} + 3b^{2}$。 -
(2) $3a^{2} + 3b^{2}=3(a^{2} + b^{2})=3[(a + b)^{2} - 2ab]=3×(49 - \frac{45}{2})=\frac{159}{2}$。

7. 一个底面是正方形的长方体，高为$6cm$，底面正方形的边长为$a cm$，如果它的高不变，底面正方形的边长增加$5cm$，那么这个长方体的体积增加了$\underline{\quad\quad}$。

答案： $(60a + 150)cm^{3}$

8. 设圆的半径为$r cm$，把半径增加$3cm$，得到一个大圆，把半径减少$2cm$，得到一个小圆，则大圆的面积比小圆的面积大$\underline{\quad\quad}$。

答案： $5\pi(2r + 1)cm^{2}$

1. （2024深圳模拟）在下列计算中，正确的是（ ）

A. $a^{2}+a^{3}=a^{5}$
B. $a^{2}\cdot a^{3}=a^{6}$
C. $(a - 2)^{2}=a^{2}+4 - 4a$
D. $(-2a)^{3}=-6a^{3}$

答案： C

2. 如图所示，将长方形$ABCD$的各边向外作正方形，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为12，则长方形$ABCD$的面积为$\underline{\quad\quad}$。

答案： 5