《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

15. 如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE = ∠D. 求证：AB = CD.

答案：
【证法一】如图①，延长 $DE$ 至点 $F$，使 $EF = DE$，连接 $BF$。因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE = CE$。 又因为 $\angle BEF=\angle CED$，$EF = ED$，所以 $\triangle BEF\cong\triangle CED(SAS)$，所以 $BF = CD$，$\angle F=\angle D$。 又因为 $\angle BAE=\angle D$，所以 $\angle F=\angle BAE$，所以 $BF = AB$，所以 $AB = CD$。 【证法二】如图②，过点 $B$ 作 $BF\perp AE$，交 $AE$ 的延长线于点 $F$，过点 $C$ 作 $CG\perp AE$，交 $AE$ 于点 $G$，则 $\angle BFE=\angle CGE = 90^{\circ}$。 因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE = CE$。 又因为 $\angle BEF=\angle CEG$，所以 $\triangle BEF\cong\triangle CEG(AAS)$，所以 $BF = CG$。 又因为 $\angle AFB=\angle DGC = 90^{\circ}$，$\angle BAF=\angle D$，所以 $\triangle ABF\cong\triangle DCG(AAS)$，所以 $AB = CD$。 【证法三】如图③，过点 $C$ 作 $CF// AB$，交 $DE$ 的延长线于点 $F$，则 $\angle BAE=\angle F$。因为 $E$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BE = CE$。 又因为 $\angle BEA=\angle CEF$，所以 $\triangle BEA\cong\triangle CEF(AAS)$，所以 $AB = FC$。 因为 $\angle BAE=\angle D$，$\angle BAE=\angle F$，所以 $\angle F=\angle D$，所以 $FC = CD$，所以 $AB = CD$。

16. 如图，已知△ABC中，∠ACB = 90°，点D是边AB上一点. 连接CD，过点D作DE⊥CD，交BC于点E，且有AC = AD = CE. 求证：
（1）∠ACD = ∠CED；
（2）CD = 2DE.

答案：
【证明】
(1) 因为 $\angle ACB = 90^{\circ}$，所以 $\angle ACD+\angle BCD = 90^{\circ}$。 因为 $DE\perp CD$，所以 $\angle CDE = 90^{\circ}$，所以 $\angle CED+\angle BCD = 90^{\circ}$，所以 $\angle ACD=\angle CED$。
(2) 如图，取 $CD$ 的中点 $F$，连接 $AF$。 又因为 $AC = AD$，所以 $AF\perp CD$，$CF = DF=\frac{1}{2}CD$。 所以 $\angle AFC = 90^{\circ}=\angle CDE$。 因为 $AC = CE$，$\angle ACD=\angle CED$，所以 $\triangle ACF\cong\triangle CED(AAS)$，所以 $CF = ED$，所以 $CD = 2DE$。

17. 如图，在△ABC中，∠B = 22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F. 求证：DF = DC.

答案： 【证明】连接 $AP$。 因为 $PQ$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线，所以 $PA = PB$，所以 $\angle PAB=\angle B = 22.5^{\circ}$。 所以 $\angle APC=\angle B+\angle PAB = 45^{\circ}$。 因为 $AD\perp PC$，所以 $\angle FPD+\angle PFD = 90^{\circ}$，$\angle PAD = 90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}=\angle APC$，所以 $PD = AD$。 因为 $PE\perp AC$，所以 $\angle AFE+\angle CAD = 90^{\circ}$。 又因为 $\angle PFD=\angle AFE$，所以 $\angle FPD=\angle CAD$。 又因为 $\angle PDF=\angle ADC = 90^{\circ}$，$PD = AD$，所以 $\triangle PDF\cong\triangle ADC(ASA)$，所以 $DF = DC$。

18. 如图，∠MON = 70°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且PA = PB，∠APB = 110°. 求证：点P在∠MON的平分线上.（注：四边形内角和为360°）

答案：
【证明】如图，过点 $P$ 分别作 $PC\perp OM$ 于点 $C$，$PD\perp ON$ 于点 $D$，则 $\angle PCO=\angle PDO=\angle PDB = 90^{\circ}$。 因为 $\angle PCO+\angle MON+\angle PDO+\angle CPD = 360^{\circ}$，$\angle MON = 70^{\circ}$，所以 $\angle CPD = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=110^{\circ}$。 因为 $\angle APB = 110^{\circ}$，所以 $\angle CPD=\angle APB$，所以 $\angle CPD-\angle APD=\angle APB-\angle APD$，即 $\angle CPA=\angle DPB$。 在 $\triangle APC$ 和 $\triangle BPD$ 中，$\begin{cases}\angle PCA=\angle PDB\\\angle CPA=\angle DPB\\PA = PB\end{cases}$，所以 $\triangle APC\cong\triangle BPD(AAS)$，所以 $PC = PD$。 又因为 $PC\perp OM$，$PD\perp ON$，所以点 $P$ 在 $\angle MON$ 的平分线上。

19. 如图，在△ABC中，AB = 20 cm，AC = 12 cm，点P从点B出发以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是________s.

答案： 4

20. 如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠O = 30°，当∠A = ________时，△AOP为等腰三角形.

答案： $75^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ 或 $30^{\circ}$ 【点拨】分三种情况：①当 $OA = OP$ 时，$\angle A=\angle OPA=\frac{1}{2}\times(180^{\circ}-\angle O)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-30^{\circ}) = 75^{\circ}$；②当 $AO = AP$ 时，$\angle APO=\angle O = 30^{\circ}$，所以 $\angle A = 180^{\circ}-\angle O-\angle APO = 120^{\circ}$；③当 $PO = PA$ 时，$\angle A=\angle O = 30^{\circ}$。综上所述，当 $\angle A$ 为 $75^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ 或 $30^{\circ}$ 时，$\triangle AOP$ 为等腰三角形。