《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. [2024·济宁期末] 若$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程$ax - 4y = 1$的解，则$a$的值为（ ）
A. 9
B. -1
C. 7
D. -5

答案： A

2. [2024·泰安肥城市期末] 若$\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$是关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}mx + ny = 5,\\nx - my = 3\end{cases}$的解，则$2n - m$的值是________.

答案： 4

3. [2024·广州荔湾区期中] 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x + y - 5k = 0,\\x - y - 9k = 0\end{cases}$的解也是方程$2x + 3y = 6$的一个解，求$k$的值.

答案： 【解】$\begin{cases}x + y - 5k = 0,①\\x - y - 9k = 0,②\end{cases}$ ① + ②，得$x = 7k$，① - ②，得$y = -2k$， 将$\begin{cases}x = 7k\\y = -2k\end{cases}$代入$2x + 3y = 6$，得$14k - 6k = 6$， 解得$k=\frac{3}{4}$。

4. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x - 3y = 3,\\ax + 2by = 4\end{cases}$和$\begin{cases}2ax + 3by = 3,\\3x + 2y = 11\end{cases}$的解相同，求$(3a + b)^{2026}$的值.

答案： 【解】由题意可得$\begin{cases}2x - 3y = 3\\3x + 2y = 11\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$。 将$\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + 2by = 4\\2ax + 3by = 3\end{cases}$，可得$\begin{cases}3a + 2b = 4\\6a + 3b = 3\end{cases}$， 解得$\begin{cases}a = -2\\b = 5\end{cases}$，所以$(3a + b)^{2026}=(-6 + 5)^{2026}=1$。

5. 若二元一次方程组$\begin{cases}2x + 3y = k - 3,\\x - 2y = 2k + 1\end{cases}$的解$x,y$互为相反数，则$k$的值为（ ）
A. $\frac{5}{8}$
B. $\frac{16}{5}$
C. $\frac{8}{5}$
D. $-\frac{8}{5}$

答案： C

6. [2024·珠海斗门区期中] 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}3x + 5y = 30,\\x - y = m\end{cases}$的解满足等式$x + y = 10 - m$.
(1)求$m$的值；
(2)求$x^{2}-y^{2}$的平方根.

答案： 【解】
(1)因为$\begin{cases}3x + 5y = 30,①\\x - y = m,②\\x + y = 10 - m③\end{cases}$， 所以② + ③，得$2x = 10$，解得$x = 5$， 将$x = 5$代入$3x + 5y = 30$，得$15 + 5y = 30$，解得$y = 3$， 将$x = 5$和$y = 3$代入$x + y = 10 - m$，解得$m = 2$。
(2)$x^{2}-y^{2}=25 - 9 = 16$， 所以$x^{2}-y^{2}$的平方根为$\pm4$。