《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

10. 如图，$A,D,E$三点在同一条直线上，且$\triangle ABD\cong\triangle CAE$.
（1）求证：$BD = CE + DE$；
（2）当$\triangle ABD$满足什么条件时，$BD// CE$？并说明理由.

答案：
(1)【证明】
∵△ABD≌△CAE，
∴BD = AE，AD = CE.
∴BD = AE = AD + DE = CE + DE.
(2)【解】当△ABD满足∠ADB = 90°时，BD//CE. 理由如下：
∵△ABD≌△CAE，
∴∠ADB = ∠CEA = 90°.
∴∠BDE = 90°.
∴∠BDE = ∠CEA = 90°.
∴BD//CE.

11. 如图所示，$\triangle ABC\cong\triangle ADE$，且$\angle CAD = 10^{\circ}$，$\angle B = \angle D = 25^{\circ}$，$\angle EAB = 120^{\circ}$，求$\angle DFB$和$\angle DGB$的度数.

答案： 【解】
∵△ABC≌△ADE，
∴∠CAB = ∠EAD. 又
∵∠CAB + ∠EAD + ∠CAD = ∠EAB = 120°，
∴2∠CAB + 10° = 120°，
∴∠CAB = 55°.
∴∠DAB = ∠CAB + ∠CAD = 65°.
∴∠AFB = 180° - (∠B + ∠DAB) = 180° - 25° - 65° = 90°.
∴∠DFB = 180° - 90° = 90°. 又
∵∠GFD = ∠AFB = 90°.
∴∠DGB = 180° - (∠D + ∠GFD) = 180° - 25° - 90° = 65°.

12. 新视角 项目探究题【综合与实践】
【问题情境】如图①，学校有一块三角形空地，其中$\angle B = 90^{\circ}$，$AB = 6$米，$BC = 8$米，$AC = 10$米. 点$D$在边$AB$上，点$E$在边$BC$上，$BD = 4$米，$BE = 3$米，在$\triangle BED$范围内种植谷物.
【思考探究】
（1）种植谷物的面积为________平方米.
【方案设计】现需要在剩余空地上分割出一块三角形空地种植玉米（$C$为种植玉米的三角形空地的一个顶点），其面积与种植谷物的面积相同.
（2）可以利用全等三角形面积相等的方法设计方案.
①欣欣的方案：如图②，在边$BC$上选取一点$G$，在边$AC$上选取点$H$，当$\triangle HGC\cong\triangle EBD$时，即可使种植玉米的面积与种植谷物的面积相同，求此时$EG$的长；
②彤彤认为还有其他全等情况也符合设计要求，请直接写出其他符合设计要求的方案中$AH$的长.（点$G$在边$BC$上，点$H$在边$AC$上）
（3）畅畅想到了利用中线分割的方法，如图③，选取$BC$的中点$P$，连接$AP$，选取$AP$的中点$Q$，连接$CQ$，则$\triangle CPQ$即为符合条件的种植玉米的三角形空地. 请说明畅畅的想法是否正确，并说明理由.

答案： 【解】
(1)6
(2)①
∵△HGC≌△EBD，
∴CG = BD = 4米.
∴EG = BC - BE - CG = 8 - 3 - 4 = 1(米). ②AH = 6米.
(3)畅畅的想法正确. 理由如下：
∵∠B = 90°，AB = 6米，BC = 8米，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\times6\times8 = 24$(平方米).
∵P是BC的中点，
∴$S_{\triangle APC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12$平方米.
∵Q是AP的中点，
∴$S_{\triangle CPQ}=\frac{1}{2}S_{\triangle APC}=6$平方米.
∴$S_{\triangle CPQ}=S_{\triangle BDE}$.
∴畅畅的想法正确.