《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

8. 如图，在四边形$ABCD$中，$\angle C+\angle D = 180^{\circ}$，$\angle A-\angle B = 40^{\circ}$，求$\angle B$的度数.

答案： 【解】因为$\angle C+\angle D = 180^{\circ}$，所以$AD// BC$。所以$\angle A+\angle B = 180^{\circ}$，① 又因为$\angle A - \angle B = 40^{\circ}$，② 所以由①②组成方程组，得$\begin{cases}\angle A+\angle B = 180^{\circ}\\\angle A - \angle B = 40^{\circ}\end{cases}$，解得$\begin{cases}\angle A = 110^{\circ}\\\angle B = 70^{\circ}\end{cases}$。所以$\angle B$的度数为$70^{\circ}$。

9. [2024·威海] 《九章算术》是我国古老的数学经典著作，书中提到这样一道题目：以绳测井. 若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺. 绳长、井深各几何？题目大意是：用绳子测量水井的深度. 如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多4尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺. 绳长、井深各是多少尺？若设绳长$x$尺，井深$y$尺，则符合题意的方程组是（ ）
A. $\begin{cases}3x - y = 4, \\ 4x - y = 1\end{cases}$
B. $\begin{cases}3x + 4 = y, \\ 4x + 1 = y\end{cases}$
C. $\begin{cases}\frac{x}{3}-y = 4, \\ \frac{x}{4}-y = 1\end{cases}$
D. $\begin{cases}\frac{x}{3}+4 = y, \\ \frac{x}{4}+1 = y\end{cases}$

答案： C

10. [2024·济南二模] 某物流公司有360箱货物需要运送，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载量和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
|车型|甲|乙|丙|
|--|--|--|--|
|运载量（箱/辆）|20|30|40|
|运费（元/辆）|300|400|450|
(1)若全部货物一次性运完，则可用甲型车6辆，乙型车4辆，丙型车________辆.
(2)若全部货物仅用甲、乙两种车型一次性运完，需运费5 100元，则甲、乙两种车型各需多少辆？
(3)若该公司打算用甲、乙、丙三种车型同时参与运送，已知车辆总数为11辆，且一次性运完所有货物，请设计出所有的运送方案，并求出最少运费.

答案： 3@@【解】
(2)设甲型车需$x$辆，乙型车需$y$辆，根据题意，得$\begin{cases}20x + 30y = 360\\300x + 400y = 5100\end{cases}$，解得$\begin{cases}x = 9\\y = 6\end{cases}$。答：甲型车需9辆，乙型车需6辆。
(3)设使用$a$辆甲型车，$b$辆乙型车，则使用$(11 - a - b)$辆丙型车，根据题意，得$20a + 30b + 40(11 - a - b)=360$，所以$b = 8 - 2a$。又因为$a$，$b$均为正整数，所以$\begin{cases}a = 1\\b = 6\end{cases}$或$\begin{cases}a = 2\\b = 4\end{cases}$或$\begin{cases}a = 3\\b = 2\end{cases}$，所以共有三种运送方案，分别是：方案一：使用1辆甲型车，6辆乙型车，4辆丙型车；方案二：使用2辆甲型车，4辆乙型车，5辆丙型车；方案三：使用3辆甲型车，2辆乙型车，6辆丙型车。方案一所需运费：$300×1 + 400×6 + 450×4 = 4500$（元）；方案二所需运费：$300×2 + 400×4 + 450×5 = 4450$（元）；方案三所需运费：$300×3 + 400×2 + 450×6 = 4400$（元），因为$4500＞4450＞4400$，所以最少运费是4400元。

11. 如图，直线$l_1:y = x + 3$与$l_2:y = kx + b$相交于点$P(1,m)$，则方程组$\begin{cases}y = x + 3, \\ y = kx + b\end{cases}$的解是（ ）

A. $\begin{cases}x = 4, \\ y = 1\end{cases}$
B. $\begin{cases}x = 1, \\ y = 4\end{cases}$
C. $\begin{cases}x = 1, \\ y = 3\end{cases}$
D. $\begin{cases}x = 3, \\ y = 1\end{cases}$

答案： B