《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. 如图，$CD// AB$，$\angle DCB = 70^{\circ}$，$\angle CBF = 20^{\circ}$，$\angle EFB = 130^{\circ}$。
(1)求证：$EF// AB$。
(2)若$\angle CEF = 68^{\circ}$，求$\angle AC$的度数。

答案： 【证明】因为CD//AB，∠DCB = 70°，所以∠ABC = 70°。 又因为∠CBF = 20°，所以∠ABF = ∠ABC - ∠CBF = 50°。 因为∠EFB = 130°，所以∠ABF + ∠EFB = 50° + 130° = 180°。 所以EF//AB。@@【解】因为EF//AB，CD//AB，所以EF//CD。所以∠CEF + ∠ECD = 180°。 又因为∠CEF = 68°，所以∠ECD = 112°。 又因为∠DCB = 70°，所以∠ACB = ∠ECD - ∠DCB = 112° - 70° = 42°。

2. 如图，$\angle A = 70^{\circ}$，$\angle 1 = 70^{\circ}$，$\angle B = \angle F$，则$\angle C$与$\angle DEC$的数量关系为______。

答案： ∠C + ∠DEC = 180°

3. 如图，将直尺与等腰直角三角板叠放在一起，如果$\angle 1 = 36^{\circ}$，那么$\angle 2$的度数为（ ）

A. $36^{\circ}$
B. $44^{\circ}$
C. $54^{\circ}$
D. $56^{\circ}$

答案： C

4. 将一块三角板$ABC$（$\angle BAC = 90^{\circ}$，$\angle ABC = 30^{\circ}$）按如图方式放置，使$A$，$B$两点分别落在直线$m$，$n$上，对于给出的五个条件：
①$\angle 2 = 2\angle 1$；
②$\angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ}$；
③$\angle 1 = 25^{\circ}$，$\angle 2 = 55^{\circ}$；
④$\angle ABC = \angle 2 - \angle 1$；
⑤$\angle ACB = \angle 1 + \angle 3$。
能判定直线$m// n$的有______。（填序号）

答案： ③④⑤ 【点拨】①因为∠2 = 2∠1，∠ABC = 30°，所以∠1 + ∠ABC不一定等于∠2，所以m和n不一定平行，故①不符合题意；②因为∠1 + ∠2 = 90°，∠ABC = 30°，所以∠1 + ∠ABC不一定等于∠2，所以m和n不一定平行，故②不符合题意；③因为∠1 = 25°，∠2 = 55°，∠ABC = 30°，所以∠ABC + ∠1 = ∠2 = 55°，所以m//n，故③符合题意；④因为∠ABC = ∠2 - ∠1，所以∠2 = ∠ABC + ∠1，所以m//n，故④符合题意；⑤过点C向左作CE//m，则∠3 = ∠ACE。因为∠ACB = ∠1 + ∠3 = ∠ACE + ∠BCE，所以∠1 = ∠BCE，所以EC//n，所以m//n，故⑤符合题意。故答案为：③④⑤。

5. (1)如图①，$EF\perp GF$，垂足为$F$，$\angle AEF = 150^{\circ}$，$\angle DGF = 60^{\circ}$。试判断$AB$和$CD$之间的位置关系，并说明理由。
(2)如图②，$AB// CD$，$\angle ABE = \angle DCF$，求证：$BE// CF$。

答案：
【解】AB//CD。理由如下： 如图①，过点F作FH//AB，则∠AEF + ∠EFH = 180°。 因为∠AEF = 150°，所以∠EFH = 30°。 因为EF⊥GF，所以∠EFG = 90°，所以∠HFG = 60°。 又因为∠DGF = 60°，所以∠HFG = ∠DGF，所以FH//CD。 所以AB//CD。@@【证明】如图②，连接BC。 因为AB//CD，所以∠ABC = ∠DCB。 又因为∠ABE = ∠DCF，所以∠ABC - ∠ABE = ∠DCB - ∠DCF，即∠EBC = ∠FCB，所以BE//CF。