《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

9. [2024·青岛] 已知：如图，四边形ABCD，E为DC边上一点.
求作：四边形内一点P，使EP//BC，且点P到AB，AD的距离相等.（不写作法，保留作图痕迹）

答案：
【解】如图，点P即为所求。

10. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，BD平分∠ABC交AC于点D，BC = 12，BD = 13，E是线段AB上的一动点，则DE的最小值是（ ）
A. 4 B. 5 C. 10 D. 12

答案： B

11. 如图，已知在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC，∠ACB = 72°，∠ABC = 44°，并且∠BAD + ∠CAD = 180°，那么∠ADC的度数为（ ）

A. 65°
B. 66°
C. 67°
D. 68°

答案：
D@@【点拨】如图，延长BA，BC，过点D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F。过点D作DG⊥AC于点G。
∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，
∴DE = DF。
∵∠BAD + ∠CAD = 180°，∠BAD + ∠EAD = 180°，
∴∠EAD = ∠CAD。又
∵DE⊥BA，DG⊥AC，
∴DE = DG。
∴DF = DG。又
∵DG⊥AC，DF⊥BC，
∴CD平分∠ACF，即∠ACD = ∠FCD。
∵∠ACB = 72°，
∴∠ACD = ∠FCD = $\frac{1}{2}(180° - ∠ACB)=54°$。
∵∠ACB = 72°，∠ABC = 44°，
∴∠BAC = 180° - ∠ACB - ∠ABC = 64°，
∴∠CAD = ∠EAD = $\frac{1}{2}(180° - ∠BAC)=58°$，
∴∠ADC = 180° - ∠ACD - ∠CAD = 180° - 54° - 58° = 68°。故选D。

12. 如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA交BA的延长线于点H，求证：AP平分∠HAD.

答案： 【证明】过点P作PF⊥BE于点F。
∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PF⊥BE，
∴PH = PF。
∵CP平分∠ACE，PD⊥AC，PF⊥BE，
∴PF = PD。
∴PD = PH。
∴AP平分∠HAD。

13. 如图，P为△ABC的外角∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
（1）求证：PE = PF；
（2）若四边形ABPC的面积为20，且PD = 4，求AB + AC的长.

答案： （1）【证明】
∵P为∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD = PE，PD = PF。
∴PE = PF。 （2）【解】连接AP。
∵四边形ABPC的面积为20，
∴$S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}=20$。
∴$\frac{1}{2}AB\cdot PE+\frac{1}{2}AC\cdot PF = 20$。 结合（1）知PE = PF = PD = 4，
∴2(AB + AC)=20。
∴AB + AC = 10。