《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

1. 如图，等腰三角形 $ABC$ 中，$AB = AC$，$\angle A = 40^{\circ}$，$BD$ 是 $\triangle ABC$ 的平分线，$DE // BC$，则 $\angle BDE$ 的度数为 （ ）
A. $20^{\circ}$ B. $35^{\circ}$ C. $40^{\circ}$ D. $70^{\circ}$

答案： B

2. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，$E$ 是 $AD$ 上一点，连接 $EB$，$CE$. 若 $\angle EBD = 45^{\circ}$，$BC = 4$，则 $BE$ 的长是 （ ）

A. $\sqrt{8}$
B. $4$
C. $\sqrt{2}$
D. $2$

答案： A

3. 如图所示，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC = 5$，$BC = 6$，$AD \perp BC$ 于点 $D$，且 $AD = 4$，若点 $P$ 在边 $AC$ 上移动，则 $BP$ 的最小值为 （ ）
A. $4.6$ B. $4.8$ C. $5$ D. $5.2$

答案： B

4. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$CE$ 是 $\angle ACB$ 的平分线，$AC = BC$，$CD = CF$，则下列结论中：①$\angle ADE = \angle BFE$；②$AE = BE$；③$CE \perp AB$；④$\triangle CDE\cong \triangle CFE$，正确的有 （ ）

A. $1$ 个
B. $2$ 个
C. $3$ 个
D. $4$ 个

答案： D

5. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，点 $E$ 在 $CA$ 的延长线上，$EP \perp BC$ 于点 $P$，交 $AB$ 于点 $F$. 若 $AF = 2$，$BF = 3$，则 $CE$ 的长度为 （ ）
A. $5$ B. $6$ C. $7$ D. $8$

答案： C

6. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$\angle ABC$，$\angle ACB$ 的平分线相交于点 $F$，过点 $F$ 作 $DE // BC$，交 $AB$ 于点 $D$，交 $AC$ 于点 $E$，那么下列结论正确的有 （ ）
①$\triangle BDF$，$\triangle CEF$ 都是等腰三角形；②$DE = DB + CE$；③$\triangle ADE$ 的周长等于 $AB + AC$；④$BF = CF$.

A. $1$ 个
B. $2$ 个
C. $3$ 个
D. $4$ 个

答案： C@@【点拨】 - ①因为BF是∠ABC的平分线，所以∠ABF = ∠CBF。又因为DE//BC，所以∠CBF = ∠DFB，进而∠ABF = ∠DFB，所以DB = DF，△BDF是等腰三角形。同理∠ECF = ∠EFC，所以EF = EC，△CEF是等腰三角形，故①正确。 - 因为DB = DF，EF = EC，所以DE = DF + EF = DB + CE，△ADE的周长 = AD + DF + EF + AE = AD + DB + EC + AE = AB + AC，故②③正确。 - 因为AB和AC不一定相等，所以BF和CF不一定相等，故④错误，故选C。

7. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AB = AC$，$AC$，$AB$ 边上的高 $BD$ 和 $CE$ 相交于点 $F$.
求证：$\triangle BFC$ 是等腰三角形.

答案： 【证明】 - 因为AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。 - 因为BD，CE分别是AC，AB边上的高，所以∠BEC = ∠CDB = 90°。 - 又因为BC = CB，所以△BEC≌△CDB(AAS)。 - 所以∠ECB = ∠DBC，所以FB = FC，△BFC是等腰三角形。

8. 如图，已知在 $\triangle ABC$ 中，$BO$ 平分 $\angle ABC$，$CO$ 平分 $\angle ACB$，且 $OM // AB$，$ON // AC$，若 $CB = 6$，则 $\triangle OMN$ 的周长是 （ ）
A. $3$ B. $6$ C. $9$ D. $12$

答案： B@@【点拨】 - 因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠ABO = ∠OBM，∠ACO = ∠OCN。 - 因为OM//AB，ON//AC，所以∠ABO = ∠BOM，∠ACO = ∠CON，所以∠MOB = ∠MBO，∠NOC = ∠NCO，所以MO = MB，NO = NC。 - 所以△OMN的周长是MO + NO + MN = BM + MN + NC = BC = 6，故选B。

9. 如图，$\triangle ABC$ 中，$AC = BC = 5$，$AB = 6$，$CD$ 为 $\triangle ABC$ 的中线，$E$，$F$ 分别为线段 $CD$，$CA$ 上的动点，连接 $AE$，$EF$，则 $AE + EF$ 的最小值为 （ ）

A. $2.4$
B. $4.8$
C. $5$
D. $6$

答案：
B@@【点拨】 - 因为AC = BC，CD为△ABC的中线，所以CD为△ABC的对称轴，且CD⊥AB，AD = $\frac{1}{2}$AB = 3，所以CD = $\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}$ = 4。 - 如图，作点F关于直线CD的对称点F'，则点F'在CB上，连接EF'，当点A，E，F'在同一条直线上且AF'⊥BC时，AE + EF取得最小值，最小值为AF'的长。 - 因为$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}BC\cdot AF'$，所以AF' = $\frac{AB\cdot CD}{BC}=\frac{6×4}{5}$ = 4.8，所以AE + EF的最小值为4.8，故选B。