《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

8. 学科素养 推理能力 在 Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，AB = AC.
（1）如图①，D 为 BC 边上一点，连接 AD，以 AD 为边作 Rt△ADE，∠DAE = 90°，AD = AE，连接 EC，求证：BD = CE；
（2）如图②，D 为 BC 延长线上一点，连接 AD，以 AD 为边作 Rt△ADE，∠DAE = 90°，AD = AE，连接 EC，试探究线段 BC，CD，CE 之间的数量关系，并证明你的结论.

答案：
(1)【证明】因为∠BAC = ∠DAE = 90°， 所以∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠BAD = ∠CAE。 又因为AD = AE，AB = AC， 所以△ABD≌△ACE(SAS)。所以BD = CE。
(2)【解】BC + CD = CE。 证明：因为∠BAC = ∠DAE = 90°， 所以∠BAC + ∠CAD = ∠DAE + ∠CAD， 即∠BAD = ∠CAE。 又因为AB = AC，AD = AE，所以△ABD≌△ACE(SAS)。 所以BD = CE，即BC + CD = CE。

9. 在△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC.
（1）如图①，若过点 C 在△ABC 外作直线 MN，AM⊥MN 于点 M，BN⊥MN 于点 N. 求证：MN = AM + BN.
（2）如图②，若过点 C 在△ABC 内作直线 MN，AM⊥MN 于点 M，BN⊥MN 于点 N，则 AM，BN 与 MN 之间有什么关系？请说明理由.

答案：
(1)【证明】因为AM⊥MN，BN⊥MN， 所以∠AMC = ∠CNB = 90°。所以∠MAC + ∠ACM = 90°。 因为∠ACB = 90°， 所以∠NCB + ∠ACM = 90°。 所以∠MAC = ∠NCB。 在△AMC和△CNB中，$\begin{cases} \angle AMC = \angle CNB \\ \angle MAC = \angle NCB \\ AC = CB \end{cases}$  所以△AMC≌△CNB(AAS)。所以AM = CN，MC = NB。 因为MN = NC + CM，所以MN = AM + BN。
(2)【解】MN = BN - AM。理由如下： 因为AM⊥MN，BN⊥MN，所以∠AMC = ∠CNB = 90°。 所以∠MAC + ∠ACM = 90°。 因为∠ACB = 90°，所以∠NCB + ∠ACM = 90°。所以∠MAC = ∠NCB。 在△AMC和△CNB中， $\begin{cases}\angle AMC = \angle CNB \\ \angle MAC = \angle NCB \\ AC = CB \end{cases}$所以△AMC≌△CNB(AAS)。所以AM = CN，MC = NB。 因为MN = CM - CN，所以MN = BN - AM。