《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

7. 如图，在△ABC中，CD⊥BA交BA的延长线于点D，DE⊥AC于点E.
（1）如图①，若∠B = 35°，∠CDE = 60°，求∠ACB的度数.
（2）如图②，若CA平分∠BCD，BF⊥CA交CA的延长线于点F，写出与∠ACB相等的角（∠ACB除外）.

答案： 【解】
(1) 因为 $CD\perp BD$，所以 $\angle BDC = 90^{\circ}$。 因为 $\angle B = 35^{\circ}$，所以 $\angle BCD = 90^{\circ}-\angle B = 55^{\circ}$。 因为 $DE\perp AC$，所以 $\angle DEC = 90^{\circ}$。 因为 $\angle EDC = 60^{\circ}$，所以 $\angle DCE = 90^{\circ}-\angle EDC = 30^{\circ}$。 所以 $\angle ACB=\angle BCD-\angle DCE = 55^{\circ}-30^{\circ}=25^{\circ}$。
(2) 与 $\angle ACB$ 相等的角有 $\angle DCA$，$\angle ADE$，$\angle FBA$。

8. [2024·成都青羊区校级期中] 如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC，AB于点E，M，边AC的垂直平分线分别交BC，AC于点F，N，△AEF的周长是12.
（1）求BC的长；
（2）若∠B + ∠C = 45°，AF = 4. 求△AEF的面积.

答案： 【解】
(1) 因为 $\triangle AEF$ 的周长为 12，所以 $AE + EF + AF = 12$。 因为 $ME$ 是边 $AB$ 的垂直平分线，$NF$ 是边 $AC$ 的垂直平分线，所以 $BE = AE$，$FA = FC$，所以 $BC = BE + EF + FC = AE + EF + AF = 12$。
(2) 因为 $\angle B+\angle C = 45^{\circ}$，所以 $\angle BAC = 135^{\circ}$。 因为 $BE = AE$，$FA = FC$，所以 $\angle EAB=\angle B$，$\angle FAC=\angle C$，所以 $\angle EAB+\angle FAC=\angle B+\angle C = 45^{\circ}$，所以 $\angle EAF = 90^{\circ}$。 设 $AE = x$，则 $EF = 12 - x - 4 = 8 - x$。 在 $Rt\triangle AEF$ 中，因为 $AE^{2}+AF^{2}=EF^{2}$，所以 $x^{2}+4^{2}=(8 - x)^{2}$，所以 $x = 3$，即 $AE = 3$。 所以 $\triangle AEF$ 的面积 $=\frac{1}{2}AE\times AF=\frac{1}{2}\times3\times4 = 6$。

9. 如图，在Rt△ABC中，∠A = 90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线. 求证：BC = 2AB.

答案： 【证明】因为 $DE$ 是 $BC$ 的垂直平分线，所以 $BC = 2BE$，$DE\perp BC$。 又因为 $BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线，$\angle A = 90^{\circ}$，所以 $DA = DE$。 在 $Rt\triangle ABD$ 和 $Rt\triangle EBD$ 中，$\begin{cases}DA = DE\\BD = BD\end{cases}$，所以 $Rt\triangle ABD\cong Rt\triangle EBD(HL)$。 所以 $AB = BE$，所以 $BC = 2AB$。

10. 如图，在△ABC中，AB = AC，∠B = 40°，点D是线段BC上任意一点，连接AD，作∠ADE = 40°，DE交线段AC于点E.
（1）若∠BDA = 115°，求∠DEC的度数.
（2）若DC = AB，求证：△ABD≌△DCE.

答案：
(1) 【解】因为 $AB = AC$，$\angle B = 40^{\circ}$，所以 $\angle C=\angle B = 40^{\circ}$。 因为 $\angle BDA = 115^{\circ}$，$\angle ADE = 40^{\circ}$，所以 $\angle EDC = 180^{\circ}-\angle BDA-\angle ADE = 180^{\circ}-115^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$。 所以 $\angle DEC = 180^{\circ}-\angle EDC-\angle C = 180^{\circ}-25^{\circ}-40^{\circ}=115^{\circ}$。
(2) 【证明】因为 $\angle ADC=\angle B+\angle BAD = 40^{\circ}+\angle BAD$，$\angle ADC=\angle ADE+\angle EDC = 40^{\circ}+\angle EDC$，所以 $\angle BAD=\angle EDC$。 又因为 $\angle B=\angle C$，$DC = AB$，所以 $\triangle ABD\cong\triangle DCE(ASA)$。