《2025年综合应用创新题典中点七年级数学下册鲁教版五四制》

12. 某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）. 张强、妈妈两人距家的距离$y$（米）与张强出发的时间$x$（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题：
(1)张强返回时的速度是________米/分钟.
(2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？
(3)请求出张强出发多长时间与妈妈相距1 000米.

答案： 150@@【解】
(2)因为$(45 - 30)×150 = 2250$（米），$3000 - 2250 = 750$（米），所以易知点$B$的坐标为$(45,750)$，所以妈妈原来的速度为$2250÷45 = 50$（米/分钟），所以妈妈按原来的速度回家需要的时间为$\frac{3000}{50}=60$（分钟）。因为$60 - 50 = 10$（分钟），所以妈妈比按原速返回提前10分钟到家。
(3)如图所示，设线段$AC$的表达式为$y = kx + b(k\neq0)(30＜x\leq50)$，把点$A(30,3000)$和$C(50,0)$的坐标代入，得$\begin{cases}30k + b = 3000\\50k + b = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k = -150\\b = 7500\end{cases}$，所以线段$AC$的表达式为$y = -150x + 7500(30＜x\leq50)$。设线段$BD$的表达式为$y = mx + n(0\leq x\leq45)$，把点$D(0,3000)$，$B(45,750)$的坐标代入，得$\begin{cases}n = 3000\\45m + n = 750\end{cases}$，解得$\begin{cases}m = -50\\n = 3000\end{cases}$，所以线段$BD$的表达式为$y = -50x + 3000(0\leq x\leq45)$。易知线段$OA$的表达式为$y=\frac{3000}{30}x = 100x(0\leq x\leq30)$。当张强与妈妈相距1000米时，有三种情况：①$-50x + 3000 - 100x = 1000$，解得$x = \frac{40}{3}$；②$100x - (-50x + 3000)=1000$，解得$x = \frac{80}{3}$；③$(-150x + 7500)-(-50x + 3000)=1000$，解得$x = 35$。综上，当张强出发$\frac{40}{3}$分钟或$\frac{80}{3}$分钟或35分钟时与妈妈相距1000米。

13. 解方程组：$\begin{cases}\frac{2x + 3y}{4}+\frac{2x - 3y}{3}=7, \\\frac{2x + 3y}{3}+\frac{2x - 3y}{2}=8.\end{cases}$

答案： 【解】令$2x + 3y = m$，$2x - 3y = n$，则原方程组可转化为$\begin{cases}\frac{m}{4}+\frac{n}{3}=7\\\frac{m}{3}+\frac{n}{2}=8\end{cases}$。解这个方程组，得$\begin{cases}m = 60\\n = -24\end{cases}$，即$\begin{cases}2x + 3y = 60\\2x - 3y = -24\end{cases}$。解此方程组得原方程组的解为$\begin{cases}x = 9\\y = 14\end{cases}$。

14. 已知$|3a - b - 4|+|4a + b - 3| = 0$，求$2a - 3b$的值.

答案： 【解】由题意得$\begin{cases}3a - b - 4 = 0\\4a + b - 3 = 0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1\\b = -1\end{cases}$。所以$2a - 3b = 2×1 - 3×(-1)=5$。

15. 解方程组：$\begin{cases}2x + 3y - 2 = 0,① \\\frac{2x + 3y + 5}{7}-2y = 9.②\end{cases}$

答案： 【解】由①，得$2x + 3y = 2$，③ 将③代入②，得$\frac{2 + 5}{7}-2y = 9$，解得$y = -4$。将$y = -4$代入③，得$x = 7$。所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 7\\y = -4\end{cases}$。